równania z parametrem op: dobry wieczór, pomoże ktoś? dla jakich wartości parametru m (należącego do R) równanie x⁴+2(m−5)x²+4m²=0 ma cztery różne rozwiązania? bardzo proszę o wskazanie warunków, z resztą sobie poradzę zaczęłam tak: x²=t i t większe lub równe 0 czyli t² +2(m−5)t+4m²=0 wynik powinien wyjść m należy do przedz. (−5,0) i (0, 1,6) z góry dziękuję

PW: x² = t >0 (bo gdyby x² = 0, to równanie miałoby 3 rozwiązania). Równanie (1) t² + 2(m−5) + 4m² = 0 o ile ma rozwiązania, to są one dodatnie (wynika to z faktu, że f(0) = 4m² > 0 (tu warto narysować parabolę występującą w (1). Wystarczy więc warunek: wyróżnik równania (1) jest większy od zera. 4(m−5)² − 16m² > 0

PW: Poprawka: (1) t² + 2(m−5)t + 4m² =0. I jeszcze wyjaśnienie dlaczego zakładamy 4m² > 0. Gdyby m=0, to badane równanie mialoby 3 rozwiązania.

PW: Napisałem głupstwo o 22:41 (8 stycznia). Równanie (1) ma dwa rozwiązania dodatnie, jeżeli wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną dodatnią. Do warunku Δ > 0 należy jeszcze dodać ten drugi. Dobrze to widać na rysunku (parabola "ramiona do góry", odcięta wierzchołka dodatnia, w zerze wartość dodatnia). Śniło mi się w nocy, że głupstwa wypisuję, ale już nie wstawałem.