Algebra Głąb: Proszę o pomoc:(,Zbadać liniową niezależność poniższego ukadu funkcji R^R A= (f₁; f₂; f₃; f₄), gdzief₁(x) =−1; f₂(x) =x+ 1; f₃(x) = sinx; f₄(x) =e^−x

Gray: Definicja. Pokaż, że α₁f₁+α₂f₂+α₃f₃+α₄f₄=0 ⇒ α₁=α₂=α₃=α₄=0.

Gląb: To wiem, ale co dalej.

Gray: Trzeba rozwiązać równanie stojące z lewej strony implikacji. α₁f₁+α₂f₂+α₃f₃+α₄f₄=0 ⇔ ⇔ ∀x∊R: α₁f₁(x)+α₂f₂(x)+α₃f₃(x)+α₄f₄(x)=0⇔ ⇔∀x∊R: −α₁+α₂(x+1)+α₃sinx+α₄e^−x=0 ⇒ różniczkujemy stronami ⇒ ∀x∊R: α₂+α₃cosx−α₄e^−x=0 ⇒ różniczkujemy stronami ⇒ ∀x∊R: −α₃sinx+α₄e^−x=0 Podstawiamy: − dla x=0 mamy: α₄=0 − dla x=1 mamy: −α₃sin1+α₄e⁻¹ = −α₃sin1=0 ⇔ α₃=0. Wiemy zatem, że α₃=α₄=0. Wyjściowe równanie ma więc postać: α₁f₁+α₂f₂=0 ⇔ ⇔∀x∊R: α₁f₁(x)+α₂f₂(x)=0⇔ ⇔∀x∊R: −α₁+α₂(x+1)=0 Tu mamy równość dwóch wielomianów: z lewej strony wielomian zerowy, czyli z prawej też. Zatem: −α₁+α₂(x+1) ≡0⇔α₂=α₁=0. Podsumowując, z warunku α₁f₁+α₂f₂+α₃f₃+α₄f₄=0 wynika, że α₁=α₂=α₃=α₄=0. To oznacza, że wektory są liniowo niezależne. Koniec.

Gray: Fraszka "Na brak szacunku" Myśli, że wszystko mu się należy, A wdzięczność nie w jego gestii leży. Ma w dupie Twój cenny czas, A wykorzysta cię jeszcze nie raz.