c całka: Oblicz całkę niewymierną: ∫√x² + 4dx pod t podstawić √x ? bo nie wychodzi mi tym sposobem

Gray:

	et−e−t
Albo podstawienie Eulera, np. √x2+4=tx+2; albo x=2sinh(t), gdzie sinh(t)=		to
	2

sinus hiperboliczny. Ja wybrałbym drugie.

całka: ta druga opcja odpada,bo nie rozumiem. To pod t podstawiam t = √x² + 4 tylko potem mam t² = x² + 4 2t = 2xdx i tej całki za pomocą tego nie zapiszę

Bogdan: Proponuję następujące postępowanie:

	x2 + 4		x		4
∫√x2 + 4 dx = ∫		dx = ∫(x *		dx + ∫		dx
	√x2 + 4		√x2 + 4		√x2 + 4

Pierwsza całka − przez części Druga całka − pozostawiam do przemyślenia

całka: Właśnie tego szukałem dzięki. W drugiej całce jeśli się nie mylę, to mianownik trzeba zapisać odpowiednim wzorem i potem z tego całkę wyliczę już

całka: a jednak tutaj jednak nie trzeba skorzystać potem z metody współczynników nieoznaczonych ? bo stopień wielomianu licznika jest taki sam jak mianownika

całka: nie będzie tak: ?

	x2 + 4		dx
∫√x2 + 4dx = ∫		dx = (Ax + B)√x2 + 4 + λ		/()'
	√x2 + 4		√x2 + 4

	1		1
U{x2 + 4}{√x2 + 4 = A√x2 + 4 *		* 2x + λ
	2√x2 + 4		√x2 + 4

?

	x2 + 4
czy inaczej można to rozwiązać ? jak już mam taką postać: ∫		dx
	√x2 + 4

Mila: Patrz na wskazówkę Bogdana.

	1		2x		4
=		∫x*		dx+∫		dx
	2		√x2+4		√x2+4

Pierwsza przez części a drugą juz liczyłaś .

całka: i to całkę teraz:

	2x
∫x*		dx rozwiązać przez części ?
	√x2+4

całka:

	1
Mila skąd u Ciebie		?
	2

Dawid: Bo w liczniku jest dopisana 2 a aby to zredukować wyciągasz 1/2 przed całkę 

Mila: Tak przez częsci.16:13

całka:

	1
w przykładzie 2 nie ma w liczniku. U Bogdana jest bez
	2

	1
nie rozumiem skąd ta
	2

Mila:

	1
Podzielone przez 2 to masz		, potem pomnożone przez 2 aby nie zmienić wartości,
	2

dlatego, że 2x jest pochodną (x ²+4).

całka:

	1
ale to Bogdana zapis bez		też jest dobry ?
	2

całka:

	1
nie wiem nadal nie rozumiem, skąd ta		jak to przecież trzeba na części najpierw rozbić
	2

Mila: To rób bez 1/2.

	1
Tak trudno zrozumieć, że		*2=1 i wartość się nie zmienia, a otrzymasz wygodną postac pod
	2

całką?

całka: to było tak od razu, teraz już rozumiem

całka: to więc to pierwszą całkę można rozwiązać na co najmniej 2 sposoby: 1sposób: przez częsci 2sposób: obliczając pochodną mianownika i doprowadzenie licznika do postaci tej pochodnej ?

całka: dobra tylko przez części co ja patrze

Gray: Zachęcam do poznania funkcji hiperbolicznych Może ktoś skorzysta...

	et − e−t		et + e−t
sinh(t)=		, cosh(t)=
	2		2

Stąd: a) sinh'(t)=cosh(t), cosh'(t)=sinh(t); b) cosh²t−sinh²t=1 Wówczas

	x=2sinh(t) dx=2coshtdt
∫√4+x2dx =		= ∫√4(1+sinh2t)2cosh(t)dt = b) =

=∫4cosh²tdt = ∫ (e^t+e^−t)²dt = ∫e^2t + 2 + e^−2tdt =

	1		1
=		e2t + 2t −		e−2t + c =...
	2		2

	et−e−t
Pozostaje z równania x=sinht=		obliczyć t.
	2

	et−e−t
x=		⇔ 2x = et−e−t ⇔ e2t − 2xet −1 = 0
	2

△=4x² + 4 e^2t = x − √x²+4 (odpada) lub e^2t = x + √x²+4 czyli 2t=ln(x + √x²+4). wracamy do całki.

	1		1		1
.....=		e2t + 2t −		e−2t + c =		(x + √x2+4) + ln(x + √x2+4)
	2		2		2

	1		1
−				+c
	2		x + √x2+4

Koniec.

pies: 5²

pies: a₂