hoih
zombi: Zbadać, która funkcja jest jednostajnie ciągła na R
f(x) = x2, jak się za to zabrać ? Mam definicję z wiki, wiem, że nie będzie jednostajnie
ciągła, tylko jak to pokazać?
6 sty 18:41
zombi: Czy można tu powołać się na fakt, że jeśli funkcja spełnia warunek Lipschitza, to jest
jednostajnie ciągła? Bo wówczas mielibyśmy
|x2−y2| < L*|x−y| /: |x−y| zakładając, że są różne
mamy
|x+y| < L, ale x,y∊R, więc nie ma takiego ograniczenia. Czyli nie spełnia warunku Lipschitza,
więc nie jest jednostajnie ciągła?
6 sty 18:43
zombi: .
6 sty 18:56
zombi: .
6 sty 19:32
zombi: .
6 sty 20:01
Gray: A zadanie z nocki dokończyłeś?
6 sty 20:02
Gray: Odnośnie zadania, ponieważ |f(x)−f(y)| = |f'(c)||x−y|, zatem jednostajna ciągłość oznacza mniej
więcej tyle, co ograniczoność pochodnej.
6 sty 20:04
zombi: Ooo to fajne spostrzeżenie zapomniałem o tym. Jeszcze, gdyby dorzucić warunek, że |x−y| < ϱ to
wychodzi faktycznie ograniczoność pochodnej.
6 sty 20:58
zombi: .
6 sty 21:16
Gray: Ograniczenie |x−y| + ograniczoność pochodnej ⇒ ograniczoność |f(x)−f(y)| ⇒ (dla funkcji
różniczkowalnej) jednostajna ciągłość
6 sty 21:20
Gray: Napisałeś: "nie spełnia warunku Lipschitza, więc nie jest jednostajnie ciągła". To działa tylko
w jedną stronę: Lipschitz ⇒ jednostajna ciągłość. Nie możesz tak tego uzasadnić.
6 sty 21:27
zombi: No teraz to widzę, to jak to ładnie pokazać?
6 sty 21:28
zombi: Jesteś Gray?
6 sty 22:17
Gray: Weź ε<2.
| | 1 | |
∀δ>0 oraz dla x=n, y=n+ |
| (i dla dostatecznie dużego n) mamy |x−y|<δ oraz |f(x)−f(y)| = |
| | n | |
| | 1 | | 1 | | 1 | | 1 | |
|n2−(n+ |
| )2| = |
| (2n+ |
| )=2 + |
| > ε |
| | n | | n | | n | | n2 | |
Czyli ∃ε>0: ∀δ>0 ∃x,y: |x−y|<δ oraz |f(x)−f(y)|>ε − to oznacza, że x
2 nie jest jednostajnie
ciągła.
Zadanie z nocki dokończyłeś?
6 sty 22:35
zombi: To z pochodną? Nie bardzo rozumiem, jak f
n(x) = x
n+1 to spełnia
6 sty 22:37
6 sty 22:38
Gray: To dlaczego nie pytasz?
Ponieważ dla x∊[0,1]
| | xn+1 | | 1 | |
0≤|fn(x)|= |
| ≤ |
| →0 zatem fn zmierza jednostajnie do funkcji f(x)=0. |
| | n+1 | | n+1 | |
Teraz pochodna:
f'
n(x)=x
n oraz f'(x)=0.
Ale f'
n(1)=1 więc f
n nie zmierza punktowo do f(x)=0.
Koniec.
6 sty 22:41
zombi: Aaaa czyli wystarczy, że jeden "punkcik" nie będzie zmierzał do tego i już?
6 sty 22:43
Gray: Tak.
6 sty 22:47
zombi: No dobra a mam jeszcze coś takiego:
Podać przykład ciągu funkcji, jednostajnie zbieżnego, którego pochodne są zbieżne punktowo, ale
nie jednostajnie? Czyli to co wcześniej, tyle, że mają zbiegać punktowo, ale nie jednostajnie?
6 sty 22:49
Gray: To weź to samo, tylko zmień przedział z [0,1] na [0,1).
Zbieżność punktowa się naprawi, a popsuje się jednostajna, bo sup[0,1)|fn(x)|=1.
6 sty 22:53
zombi: A jak to wychodzi, że sup|fn(x)| = 1? tego jedynie za bardzo nie rozumiem.
6 sty 22:56
Gray: *jednostajna się nie naprawi...
6 sty 22:56
Gray: Dla x dowolnie blisko 1, xn też jest dowolnie blisko 1 − to oznacza, że sup[0,1)|fn(x)|=1.
Ewentualnie narysuj kilka wykresów f1(x), f2(x), f3(x) na przedziale [0,1). Zawsze wykres
będzie zaczepiony w punkcie (1,1).
6 sty 23:00
Gray: Znikam.
6 sty 23:00
zombi: Dzięki wielkie!
6 sty 23:02