Zbadać czy przekształcenia są liniowe. Akatsuki: Zbadać czy przekształcenia są liniowe: R−−>R⁴, F(x)=(0,x²,0,−3x); Moglibyście pomóc?

Gray: Moglibyśmy. Gdyby było liniowe, to np. F(2)=2F(1), a u Ciebie F(2) = (0,4,0,−6)≠(0,2,0,−6)=2F(1).

Akatsuki: Ale nie ma zadnego sposobu/schematu na takie sprawdzenie? Czy trzeba zgadywać i brać po kolei liczby aż do skutku? I mam jeszcze jedno pytanie, co oznacza że R−−>R⁴

Gray: Widać, kiedy jest liniowe. To nie jest bo występuje x². Z szukaniem przykładu jest tak, że trzeba mieć pecha, aby wyszło.

PW: Chcesz "wykazać uroczyście"? To nie wprost: Gdyby przekształcenie było liniowe, oznaczałoby to np., że dla dowolnych a i b należących do R F(a+b) = F(a) + F(b), to znaczy (0, (a+b)², 0, −3(a+b)) = (0, a², 0, −3a) + (0, b², 0, −3b) (0, (a+b)², 0, −3(a+b)) = (0+0, a²+b², 0+0, −3a−3b), a więc m.in. (porównujemy drugie współrzędne) (a+b)² = a² + b². Ostatnia równość nie jest prawdziwa dla wszystkich a, b∊R, co świadczy o fałszywości założenia. Pioruńsko nudne i w sensie logicznym to samo co kontrprzykład pokazany przez Graya − aby pokazać, ze coś nie działa dla wszystkich a, b wystarczy pokazać, że to coś nie działa dla jednej konkretnej pary.