zbeznocsje zombi: Zbadać zbieżność jednostajną ciągów funkcji a) f_n = xⁿ(1−xⁿ) na przedziale [0,1] lim f_n(x) = lim xⁿ(1−xⁿ) = 0 = f(x), gdyż xⁿ → 0, dla x∊[0,1), natomiast dla x=1, 1−xⁿ → 0. Czyli f(x) = 0.

	1
Jeśli chodzi natomiast o różnicę |f(x)−fn(x)| to biorąc x=		mamy
	n

	1		1		1
|f(		) − fn(		)| = |0 −		| = 1, czyli dla ε<1 nie zajdzie nierówność, a
	n		n		1   n   n

ε był dowolny, więc nie ma zbieżności jednostajnej zgadza się?

Gray: Zgadza, chociaż ta końcówka wydaje mi się zbędna, bo: a) granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągła. b) jeżeli ciąg jest zbieżny jednostajnie to jest zbieżny punktowo. Czyli granica punktowa jest jedynym kandydatem na granicę jednostajną. Skoro punktowa nie jest ciągła, to jednostajnej nie ma.

Gray: Chwila, to inny przykład Końcówka jest bardzo OK. Wyszło Ci przecież, że granica punktowa jest równa zero, więc potrzebne jakieś dodatkowe uzasadnienie. Brawo!

zombi: Czyli punktowa okej wyszła, ale w definicji jednostajnej zbieżności mamy dowolność epsilona, więc w tym przypadku to nie będzie działać, tak?

Gray: Ile to jest f_n(1/n)?

zombi:

	1
Oooo jezu, ale zamieszałem, pomyliłem przykłady. Tutaj miało być, bierzemy x=		1/n
	2

	1		1		1		1		1
i wtedy fn(		1/n)−f(		1/n) =		(1−		) − 0 =		, czyli dla
	2		2		2		2		4

	1
epsilon mniejszych od		nie zajdzie tak?
	4

Najmocniej przepraszam ze ten błąd.

Gray: Właśnie Ja też pomieszałem. Teraz OK.

zombi: A mógłbyś Gray zerknąć na post z 19:20. Dobrze rozumuje? Z góry dziękuję.

zombi:

	1
b) fn(x) =		na (0;1]
	nx

	1
Oczywiście lim fn(x) = 0, czyli f(x) = 0 i tutaj biorąc x=		, mamy, że różnica
	n

	1		1		1
fn(		) − f(		) =		− 0 = 1 i znowu dla epsilonów < 1 nie zadziała nam.
	n		n		1   n   n

Gray: Dobrze rozumujesz. Zbieżność jednostajna to zbieżność w sensie normy supremum, tj. f_n→f jednostajnie ⇔ max_x|f_n(x)−f(x)|→0.

zombi: To to okej ostatni przykład Zbadać zbieżność jednostajną

	x
fn(x) = ∑k=1n sin(		) na R.
	k2

Gray: Spróbuj wyznaczyć najpierw granicę punktową.

	x
limn→∞fn(x) = ∑ sin		, gdzie suma jest po n od 1 do ∞.
	n2

zombi: No właśnie mam problem z tym szeregiem, nie do końca potrafię policzyć jego sumę. Jakaś podpowiedź?

zombi: podbijam

Gray: Szkoda, że tak późno takie zadanie dajesz. Nudziłem się trochę od 20 grudnia Nie wydaje mi się, aby trzeba było wyznaczyć tę sumę. Niestety wiemy, że ciąg f_n jest zbieżny punktowo do pewnej funkcji f określonej na całej prostej R. Staram sobie przypomnieć jakieś warunki, pozwalające stwierdzić brak zbieżności jednostajnej. Jakiś warunek Cauchy'ego lub coś podobnego. Na razie nie mam nic. Może ktoś podchwyci, bo zadanie jest ciekawe

Gray: Można bardzo łatwo pokazać, że ciąg funkcyjny f_n zbieżny jednostajnie na zbiorze A do pewnej funkcji f spełnia jednostajny warunek Cauchy'ego, tj. ∀ε>0 ∃N>0 ∀n,m>N ∀x |f_n(x)−f_m(x)|<ε. Weźmy ε<1 oraz dowolne N∊ℕ. Wówczas

	x
|fN+2(x)−fN+1(x)| = |sin		|=...
	(N+2)2

	π(N+2)2
przyjmując x=
	2

	π
... = |sin		|=1>ε
	2

Pokazałem więc: ∃ε>0 ∀N>0 ∃n,m>N ∃x |f_n(x)−f_m(x)|>ε, to oznacza, że ciąg f_n nie spełnia warunku Cauchy'ego, czyli nie jest jednostajnie zbieżny na R do żadnej funkcji f.

zombi: ooo dzięki wielkie! nie było na wykładzie warunku Cauchy'ego, więc nie wpadłbym na to.

Gray: |f_n(x)−f_m(x)| = |f_n(x)−f(x)+f(x)−f_m(x)| ≤|f_n(x)−f(x)| + |f_m(x)−f(x)|≤... ze zbieżności jednostajnej f_n→f wynika: |f_n(x)−f(x)|<ε/2 oraz |f_m(x)−f(x)|<ε/2, czyli ... ≤ ε/2 + ε/2=ε Czyli: zbieżność jednostajna ⇒ warunek Cauchy'ego.