Całki bezendu: Podstawienie Eulera kiedy stosujemy ?

Kacper: Nawet na Wiki to jest

bezendu: Ale tego nie rozumiem, tutaj całki przez podstawienie i wgl nie było mowy o tym. Pierwszy raz to na oczy widzę

Kacper: Nie na wszystkich studiach tego uczą. Przecież nie każdemu to potrzebne. To już "wyższy poziom".

bezendu: Wiem, że wyższy poziom, na wykładzie nic o tym, a na ćw 10 całek przez to podstawienie do policzenia. Idę to rozkminiać

Mila: Jeżeli masz całke niewymierną typu:

	dx
∫		, gdzie x2+k>0 to stosujesz I podstawienie Eulera.
	√x2+k

Np.

	dx
∫
	√x2+4

√x²+4=t−x /² x²+4=t²−2tx+x²⇔ 4=t²−2tx 2tx=t²−4

	t2−4
x=
	2t

stąd :

	t2−4		2t2−t2+4		t2+4
t−x=t−		=		=
	2t		2t		2t

Aby obliczyć dx przekształcamy do wygodniejszej postaci

	1		4
x=		*(t−		)
	2		t

	1		4		1		t2+4		t2+4
dx=		*(1+		)dt=		*		)dt=		dt
	2		t2		2		t2		2t2

W takim razie teraz mamy taką całkę:

	1		t2+4		1
∫		*		dt=∫		dt=lnt=ln|x+√x2+4|+C
	t2+42t		2t2		t

Twoja wczorajsza całka była dość skomplikowana, Godzio zastosował podstawienie : √4x²+11=t−√4*x aby po podniesieniu obu stron do kwadratu zredukował się wyraz 4x². Jest jeszcze do całek niewymiernych pewnego typu jest stosowana metoda współczynników nieoznaczonych. Często doprawdza się niektóre całki niewymierne do typu:

	dx
(**) ∫		=ln|x+√x2+k|+C
	√x2+k

to stosujesz podstawienie Eulera albo korzystasz z gotowego wzoru ( zapamiętaj wzór) = oraz

	dx
∫		=arcsinx+C
	1−x2

Oblicz całkę:

	dx
∫		najpierw doprowadź do postaci (**) − postać kanoniczna wyrażenia pod
	√x2−6x+15

pierwiastkiem.

bezendu: Dziękuję, wieczorem skończę bo ma teraz trochę inne zajęcie, muszę rysunek zrobić

Gray: Cześć Ja osobiście nie mam nic do Eulera, ale jego podstawień nie stosuję. Wolę funkcje hiperboliczne. Zgrabniejsze mi się to wydaje.

Mila: Ja korzystam z gotowego wzoru, nie chce mi się wszystkiego liczyc za każdym razem.

zombi: Jak mi Godzio kiedyś zadał podobną całeczkę, to również tak jak Gray stosowałem hiperboliczne

Mila: Właśnie widziałam Gray, Twoje rozwiązanie tej całki metodą wsp. nieoznaczonych i to mi sie wydaje najprostsze, ale nie wiem, czy bezendu w tym cokolwiek się orientuje.

bezendu: Nie orientuję się wcale, proste całki na zasadzie przekształceń i własności potrafię policzyć, wymierne też. Ale przez podstawienie, przez część to już kaplica.

Mila: To pisz tutaj problemy, najpierw uważnie przeczytaj to, co napisałam i rozwiąż podaną całkę o g.17:43

bezendu: Dobrze, będę po 20.

Gray: Mnie też, Mila, ta druga metoda wydawała się najprostsza, ale nie chcę nic narzucać. Do jednego trafia to, do innego tamto, do trzeciego ani to, ani tamto.

Mila: 17:43 Poprawka

	dx
∫		=arcsin(x) + C ma być.
	√1−x2

bezendu:

	dx
∫
	√x2−6x+15

	dx
∫
	√(x−3)2+6

√(x−3)²+6=t−x /² (x−3)²+6=t²−2tx+x²

Mila: Najpierw miałeś mieć pod pierwiastkiem inną postać:,

	dx
∫		=
	√(x−3)2+6

[x−3=u, dx=du

	du
∫		=ln|u+√u2+6| i wracasz do zmiennej x⇔
	√u2+6

=ln|x−3+√(x−3)²+6|+C=ln|x−3+√x²−6x+15|+C

	du
albo do całki: ∫		stosujesz podstawienie Eulera
	√u2+6

√u²+6=t−u przećwicz

bezendu: u²+6=t²−tu+u² t²−tu−6=0 ?

Mila: u²+6=t²−2tu+u² 6=t²−2tu 2tu=t²−6

	t2−6
u=
	2t

Licz dalej jak pokazałam.

bezendu: Podaję się.

Mila: Nie żartuj, to trochę przekształceń i tragedia grecka.

	1		t2−6		1		6
u=		*		=		*(t−		)
	2		t		2		t

	1		6
du=		*(1+		)⇔
	2		t2

	t2+6
du=
	2t2

==============

	t2−6		2t2−t2+6
t−u=t−		=		⇔
	2t		2t

	t2+6
t−u=
	2t

=========== Dalej, czekam.

Mila: Jak sobie wyobrażasz drugi kierunek studiów, gdy w takie banalne rachunki przerażają Cię.?

bezendu: Ogólnie do tej pory wszystko rozumiałem z algebry i analizy, aktywność na ćw itp itd, max za kolokwium ale całki to tragedia !

Mila: Całki to przyjemna strona analizy.

bezendu: Chyba ciemna strona. Wrócę do tego jutro bo już nie mam dziś siły. Dziękuję za pomoc.

Mila: To zawiodłeś mnie.

bezendu: I tak w życiu bywa.

bezendu: To podstawienie chyba tutaj nie pasuję, albo ja nie umiem całek ∫U{dx}{√x²−6x+15=∫U{dx}{√(x−3)²+6 t=x−3 dt=dx

	dt		dt		1		t
∫		=∫		=		arctg		+C
	t2+3		t2+√3		√3		√3

	√3		x−3
=		arctg		+C
	3		√3

=================================

bezendu:

	dx
∫		poprawiam zapis
	√x2−6x+15

bezendu: up

Gray:

	dx
Twoja całka = ∫		= | √6t=x−3 ⇒ √6dt=dx| =
	√(x−3)2+6

	√6dt		dt
=∫		= ∫		= ....
	√6t2+6		√t2+1

Dokończ sam.

bezendu: przecież już dokończyłem 02:23

bezendu: to jest źle ?

bezendu: ?

Gray: To jest to zadanie? Jeżeli tak, to źle. Co zrobiłeś z pierwiastkiem w mianowniku?

bezendu: Postać kanonicza, a potem podstawienie i już z elementarnego wzoru z tablic

Gray: Hmm... Piszesz o moim rozwiązaniu z 11:28?

bezendu: Piszę cały czas o swoim rozwiązaniu całki 02:23

	dx
∫
	√x2−6x+15

Zrobiłem innym sposobem niż podstawienie Eulera i czekam aż ktoś potwierdzi wynik.

Gray: Ja Ci napisałem o 15:09, że jest źle. Boję się, że nikt nie napisze, że jest dobrze. Bo jest źle

Mila: 2:23 źle. Oblicz pochodną wyniku. Zgubiłeś pierwiastek z mianownika . 20:22 masz rozwiązane. 11:28 drugi raz doprowadzone do postaci, gdy możesz skorzystać z wzoru.

bezendu: to w takim razie w którym kroku jest błąd, podstawienie jest dobre przecież ? t=x−3 dt=dx

Gray: (x−3)²+6 = t²+6. No i nad całością pierwiastek.

Gray: O, cześć Pani Milu ... Szkoda, ale muszę znikać. Może kiedyś...

Mila: Witam ,Gray. Przyjemnej imprezy życzę.

bezendu: Mam ale jest zrobione podstawieniem którego nie rozumiem, więc szukam innej metody rozwiązania

	dx		dx
∫		=∫
	√x2−6x+15		(x−3)2+6

t=x−3 dt=dx

	dx		dt		dx
∫		=∫		=∫		=
	(x−3)2+6		t2+6		t2+√6

1		t		1		x−3
	arctg		+C=		arctg		+C
√6		√6		√6		√6

Gray: Dzięki Mila bezendu − PIERWIASTEK!

Mila: √(x−3)²+6 ma być w mianowniku po pierwszym znaku równości.

bezendu: Ok, zapomniałem o nim