Nestor:
To nierówność Bernoulliego
jest jak najbardziej prawdziwa!
spr. dla n=1 L= (1+a)
1=1+a P= 1+a więc L=P zachodzi
Założenie indukcyjne:
dla n = k
(1+a)
k ≥ 1+ k*a
Teza indukcyjna:
dla n= k+1
(1+a){k+1)≥ 1 +(k+1)*a
Dowód indukcyjny:
L= (1+a)
k*(1+a)
teraz mnożąc nierówność z założ. indukcyjnego przez ( 1+a) gdzie a > −1
nie zmieniamy zwrotu nierówności bo (1+a) >0 gdy a >−1
otrzymamy:
(1+a)
k*(1+a) ≥ (1+k*a)*(1+a)= 1+a +ka+ka
2 = 1+(1+k)*a +ka
2
ponieważ k=n ≥1 z założenia to i ka
2 ≥0
z tego wynika ,że 1+(k+1)*a +ka
2 ≥1+(k+1)*a
czyli mamy:
,że:(1+a)
k(1+a)≥(1+ka)(1+a)≥ 1+(k+1)*a
więc ( 1+a)
k+1≥1+(k+1)*a dla a > −1 i k≥1
co kończy dowód
więc nierówność jest prawdziwa dla n€N\{0} i dla a > −1