calka zadanie: Za pomoca calki potrojnej oblicz objetosc kuli x²+y²+z²=18 wykrojonej stozkiem x²+y²−z²=0. Obszar calkowania: 0≤r≤3√2 0≤θ≤2π A w jaki sposob wyznaczyc kat φ?

Gray: Masz nierówności: x²+y²+z²≤18 oraz x²+x²≤z². Drugiej nie uwzględniłaś.

zadanie: druga to x²+y²≤z² czyli stozek z=√x²+y² ⋁ z=−√x²+y² jakie obliczenia trzeba wykonac, zeby ten kat wyznaczyc? (bo z ustalaniem w jakim przedziale ma byc jakis kat mam problem nie wiem na co patrzec i skad mam wiedziec, ze to jest dobrze)

Gray: Objętość(V)=∫∫∫_Vdxdydz=... Teraz współrzędne cylindryczne: x=rcosa y=rsina z=z a∊(0,2π), r∊(0,3), z∊(−√18−r²,√18−r²), Jacobian = r ... ... =∫_[0,2π]∫_[0,3]∫_{(−√18−r²,√18−r²)}rdzdrda = =∫_[0,2π]∫_[0,3]2√18−r²rdrda=... Dalej Ty.

zadanie: wychodzi mi 72√2π−36π a powinno 72√2π−72π

zadanie: dlaczego promien jest od 0 do 3?

zadanie: a nie od 0 do 3√2?

zadanie: a jak chcialbym napisac wspolrzedne sferyczne to jakie obliczenia wykonac, zeby znalezc kat φ?

Gray: Sprawdziłem numerycznie i wyszło ≈206,79 więc poprawna odpowiedź to 72√2π−36π.

Gray: Przekrój kuli walcem to koło o promieniu r=3: x²+y²+z²=18 i x²+y²=z² ⇒ 2z²=18 ⇒ z²=9. Stąd x²+y² = 9 − czyli całkujemy po kole o promieniu r=3.

Gray: Znikam. Może ktoś przechwyci temat. Ewentualnie jutro.

zadanie: ale x²+y²=z² to nie jest stozek?

Gray: Jasne. Co mi się ubzdurało, że to walec...?

Gray: Sprawdzę jeszcze raz wszystko, ale dopiero za parę godzin...

Gray: Źle Ci to rozwiązałem. Cały czas widziałem tam walec. Przepraszam za zamieszanie. Twoja bryła to fragment kuli wycięty stożkiem: x²+y²≤z²≤18 − x² − y². Wprowadzając ponownie współrzędne walcowe: x=r cosa y=r sina z=z, gdzie r>0, a∊(0,2π), z∊R ∫∫∫_Vdxdydz = 2∫∫_K∫_{[√x²+y²,√18−x²−y²}dzdxdy, gdzie K to koło x²+y²≤9. Stąd: r∊(0,3), a∊(0,2π) i mamy dalej 2∫∫_K∫_{[√x²+y²,√18−x²−y²}dzdxdy = 2∫_[0,3]∫_[0,2π](√18−r² − r)rdadr= =4π∫_[0,3](√18−r² − r)rdr=4π(18√2 − 18). Koniec.

Gray: Gdybyś chciała współrzędne sferyczne: x=r cosa cosb y=r cosa sinb z=r sina Wystarczy obliczyć dwie całki dla dodatnich "z", czyli a∊[0,π/2]. Dalej tak x²+y² ≤ z² ⇔ r²cos²a ≤ r²sin²a ⇔ cosa≤sina ⇔ a∊[π/4,π/2] x²+y²+z²≤18 ⇔ r∊[0,3√2] Jacobian J=r²cosa Objętość = 2∫_[0,2π]∫_[0,3√2]∫_[π/4,π/2]r²cosadadrdb =

	1
=4π ∫[0,3√2]r2dr ∫[π/4,π/2]cosada = 4π		332√2 (sinπ/2 − sinπ/4) =
	3

= 36π(2√2−2)

zadanie: dziekuje