całki, pytanie do matematyków Pola: Chodzi o całki nieoznaczone. Dokładniej, kiedy istnieją. Najlepiej na przykładzie, mam całkę:

	1
∫		dx, na przedziale −∞,1
	x+2

muszę ją rozbić na dwie całki, od −∞do−2 + od −2 do 1. Całkę od −2 do 1 nie problem policzyć, jest rozbieżna do +∞. Całkę od −∞ do −2 rozbijam znów na dwie calki, od −∞do −3 i od −3 do −2. Obie całki są rozzbieżne do −∞. Stąd wnioskuję (?), że całka od −∞ do −2 jest również rozbieżna do −∞ Zatem czy całka, której całki częściowe są zbieżne jedna do +∞ , druga do −∞ istnieje? Jeżeli tak to jaka jest jej zbieżność? Pytanie, czy jeżeli jedna całka składowa wyjdzie mi zbieżna, druga rozbieżna, to co z całką wyjściową? O ile nie mam problemów z samym liczeniem zbieżności, mam problem z oceną, kiedy całka istnieje, kiedy nie. Kiedy jest zbieżna/ rozbieżna. Proszę o pomoc. Czy jest tutaj jakaś reguła?

Gray: Chodzi chyba o całki niewłaściwe... Rozbieżna + zbieżna = rozbieżna; zbieżna + zbieżna = zbieżna; rozbieżna + rozbieżna = zależy

Pola: ok, dzięki. Jak mam dwie zbieżne do tej samej nieskończoności to istnieje i jest rozbieżna, tak? A jak dwie do dwóch różnych nieskończoności to nie istnieje?

Pola: albo inaczej, od czego zależy?

Pola: Naprawdę nikt nie jest w stanie mi pomóc?

Gray: Tak można powiedzieć jak napisałaś (−łeś), ale rozbieżność może być też innej natury niż różnica dwóch nieskończoności.

Gray:

	1		1		1
∫(−∞,1)		dx = ∫(−∞,−2)		dx + ∫(−2,1)		dx =
	x+2		x+2		x+2

	1		1		1
= ∫(−∞,−3)		dx + ∫(−3,−2)		dx + ∫(−2,1)		dx = I1+I2+I3,
	x+2		x+2		x+2

gdzie: I₁ = lim_T→−∞ (ln|−1| − ln|T+2|)=−∞ I₂ = lim_T→−2 (ln|T+2| − ln|−1|) = −∞ I₃ = lim_T→−2 (ln3 − ln|T+2|) = +∞ Twoja całka nie jest więc zbieżna.

Gray: Czasami, jeżeli całka oznaczona jest równa ∞ to mówi się, że jest zbieżna do ∞, aby odróżnić ten pozytywny przypadek do przypadków beznadziejnych, gdy mamy ∞−∞, albo całki, których nie da się obliczyć w ogóle (jak ∫_(0,∞)sinxdx).

Pola: Ale moja całka istnieje? Skoro rozbiliśmy ją na dwie całki, jedna jest do −inf, druga do +inf? Miałam podawane na ćwiczeniach, że jeżeli pojawi się taki przypadek to całka nie istnieje...

Gray: Napisałem, że Twoja całka nie jest zbieżna (tzn. nie istnieje).

Pola: A, teraz rozumiem, trzeba umieć rozróżnić zbieżność do nieskończoności i "niezbieżność" Dzięki