Geometria na płaszczyźnie Dżepetto 18: Zbadaj czy istnieją takie wartości parametru m, dla których okręgi o równaniach x²+y² +2mx −1 +m² =0 i x² + y² −4x −8y = m² +2m −19 są wewnętrznie styczne. Ze wzoru na równanie okręgu wiemy, że −2a₁ = 2m ⇔ a₁=−m ; b₁=0 ; c₁= −1+m² oraz a₂ = 2 ; b₂ = 4 ; c₂ = −(m² +2m −19)

PW: Ładnie, tylko dopóki nie napiszesz, co oznaczyłeś symbolami a₁, b₁, a₂, b₂, c₁, c₂ − Twoja wypowiedź jest niesprawdzalna. Uwaga na maturze. Prościej i bardziej zrozumiale dla czytelnika byłoby zwyczajnie (x+m)² − m² + y² −1 + m² = 0 (x+m)² + y² = 1 − pierwsze równanie opisuje okrąg o środku S₁ = (−m, 0) i promieniu r₁ = 1.

Dżepetto 18: Staram się zrozumieć skąd (x+m)² − m² −1 + m² Dalej rozumiem, że wyszedł nam ładny wzór na okrąg i mamy z niego S i r; lecz skąd −m²? Odnośnie drugiego okręgu aby okręgi były styczne wewnętrznie to jaki musi zachodzić warunek?

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/473.html

Dżepetto 18: Lecz nadal nie wiem skąd pojawiło nam się "−m²" Eta już wcześniej patrzyłem na te warunki lecz też dokładnie nie wiem czy dobrze je połączyłem Chodzi o to |S₁S₂| = |r₁−r₂| ? | −m 0 | | 2 4 | a r₂ wyliczymy z r²=a²+b²−c ⇔ 2 + 16 + m² + 2m − 19 m=0 i r₂ = −1−√2 lub r₂= −1+√2 m≠ r₁ i m≠r₂ Zatem odpowiedź brzmi m∊ ∅?

PW: Skąd −m²? To standardowe postępowanie: Widzę x² + 2mx, a wiem że trzeba to "zwinąć" − pokazać jako kwadrat. Piszę więc x²+2mx = x² + 2mx + m² − m² − coś dodałem, coś odjąłem i wiem, że x²+2mx = (x + m)² − m². Nie musiałem wypatrywać, czy potrzebne mi do wzoru skróconego mnożenia m² jest w równaniu opisującym krzywą, czy go nie ma. Poradziłem sobie dodając m² i odejmując m² (a że to −m² zredukowało się za chwilę, to tym lepiej).

Dżepetto 18: Oczywiście! Super PW, dziękuję za całą pomoc przy zadaniu!