pigor: ..., w drewnianej zamkniętej skrzyni o wym 80cm*40cm*40cm
znajduje się 16 piłek. Średnica jednej piłki jest równa 20cm. Jaką
częścią wnętrza skrzyni jest wolna przestrzeń między piłkami ?
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
V
s=80*40*40=
8*16*103 (cm
3) − objętość skrzyni,
V
p=16*
43π10
3=
8*16*103*16π (cm
3) objętość piłek ,
V
s−V
p=
8*16*103(1−16π) − objętość wolnej przestrzeni ,
zatem
| | Vs−Vp | | Vp | |
|
| = 1− |
| =1−16π= |
| | Vs | | Vs | |
=
6 − π6 ≈
48% − szukana część wnętrza skrzyni ... .
PW: Zadanie drugie. Piłki zmieszczą się w skrzyni pod warunkiem, że ułożymy obok siebie na dnie 2×2
= 4 piłki i powtórzymy to ułożenie w 4 warstwach. Można więc spojrzeć na zadanie tak:
Mamy 16 pudełek o wymiarach 20×20×20, w każdym znajduje się piłka.
Objętość jednego pudełka jest równa V
1 = 20
3 = 8000, a objętość jednej piłki jest równa
| | 4 | | 4000π | |
Vp = |
| π103 = |
| . |
| | 3 | | 3 | |
Odpowiedź: wolna przestrzeń między piłkami jest równa
| | 4000π | | π | |
16·(8000 − |
| ) = 64000(2 − |
| ), |
| | 3 | | 3 | |
zatem wolna przestrzeń stanowi
część objętości skrzyni. Jest to około 47,64% objętości skrzyni (nie pytali o to, ale tak dla
lepszego zrozumienia wyniku).
Można to policzyć lepiej:
| | 4 | |
− jedna piłka ma objętość |
| πr3 (gdzie r = 10) |
| | 3 | |
− pudełko na jedną piłkę ma objętość (2r)
3 = 8 r
3.
Część zajęta przez piłkę to
zatem wolna przestrzeń to
objętości pudełka.
Fakt, że takich "pudełek z piłkami" jest 16, nie ma wpływu na stosunek wolnej przestrzeni do
całej objętości skrzyni.