Wyznaczyc ekstrema warunkowe. Lukasz: Studiuje zaocznie, wykładowca kazał nam samym nauczyć się tego tematu także proszę o wyrozumiałość. Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji f(x,y) przy warunku g(x,y)=0 a)f(x,y)=5xy x+y−6=0 f(x,y,z)=f(x,y)+z*g(x) 5xy+zx+zy−6z=0 f'x=5y+z ; f'y=5x+z ; f'z=x+y−6 f'x=0 5y+z=0 z=−5y z=−5y z=−15 f'y=0 ⇔ 5x+z=0 ⇔ 5(6−y)−5y=0 ⇔ 30−10y=0 ⇔ y=3 f'z=0 x+y−6=0 x=6−y x=6−y x=3 P(3,3) g'x=1 g'y=1 f''x=0 f''xy=5 f''yx=5 f''yy=0 0 1 1 0 1 W= 1 0 5 1 0 = 5+5 =10>0 ∧ f"xx=0 1 5 0 1 5 f"xx=0, coś tu jest nie tak. W odpowiedzi jest napisane, że wychodzi max lokalne więc coś tutaj robię źle.. Sposób rozwiązywania podchwyciłem z różnych tematów ale nie wiem czy dobrze to rozumuję. Proszę o pomoc

daras: kazał a sam pojechał na Kanary ?

Lukasz: Nie, jak dla mnie gorzej Na ćwiczeniach rozwiązujemy różne przykłady i niezależnie czy ktoś zrobi go dobrze czy całkowicie źle dostaje punkt(ważny tak samo jak na egzaminie) za rozwiązywanie zadania. Jaki efekt? Ostatnio kobieta nie potrafiła policzyć nawet delty a mimo to zgłosiła się do nieco trudnego przykładu. W efekcie zamiast rozwiązywania zadania na tablicy przez minut 5−10 robiła go 30 minut a my nie wzięliśmy nowych rzeczy

Gray: To co napisałeś, to miała być metoda oparta na tzw. funkcji Lagrange'a. Jak będziesz nalegał, to pomogę (albo ktoś inny), ale w przypadku Twojego zadania zdecydowanie najprościej jest z warunku wyznaczyć np. y=6−x i podstawić to do funkcji, która wówczas staje się funkcją jednej zmiennej. U Ciebie: f(x,y) = f(x,6−x) = 5x(6−x) = −5x² + 30x To jest funkcja kwadratowa, która posiada maksimum (globalne) w punkcie x₀ = 3 i jest ono równe f(3,3)=45. Twoja funkcja osiąga więc maksimum lokalne w punkcie (x₀,6−x₀)=(3,3). Minimum lokalnego (ani globalnego) nie ma.

Lukasz: Ok, ten sposób do tego przykładu rzeczywiście jest ok. Wracając jednak do tego mojego liczenia, czy popełniłem jakiś błąd rachunkowy czy jeszcze coś innego f"xx powinno mi wyjść ujemne z tego co mi się wydaje − wtedy będę mieć to maksimum lokalne.

Gray: W tym sęk, że może być zerem. Jest to tzw. "ciekawy" przypadek, a na takie, na studiach zaocznych zwykle nie ma czasu (a i na dziennych, na wielu kierunkach się to pomija). W takich przypadkach badanie ekstremum należy przeprowadzać innymi metodami (niż przy pomocy funkcji Lagrange'a i hesjanu obrzeżonego).

daras: jakbyś kiedyś miał czas, to mógłbyś przyblizyć ten hezjan obrzezony ?

Gray: Osobiście wolę metodę krępowania przyrostów.