Próbna matura styczeń 2006 (zad. nr 18)
EMPE: Witam, bardzo proszę o pomoc z poniższym przykładem. Jest to zadanie nr 18 z próbnej matury ze
stycznia 2006. Z góry dziękuję za odpowiedź i pozdrawiam.
Punkty A = (7;8) i B=(−1;2) są wierzchołkami trójkąta ABC, w którym kąt BCA wynosi 90 stopni.
a) Wyznacz współrzędne wierzchołka C, wiedząc, że leży on na osi OX.
b) Napisz równanie obrazu okręgu opisanego na trójkącie ABC w jednokładności o środku w punkcie
P = (1;0) i skali k=(−2).
2 sty 18:50
Janek191:
a) A = ( 7 ; 8 ) B = ( − 1 ; 2)
C = ( x ; 0)
Wektory:
→
CA = [ 7 − x ; 8 − 0 ] = [ 7 − x ; 8 ]
→
CB = [ − 1 − x ; 2 − 0 ] = [ − 1 − x ; 2 ]
Te wektory muszą być prostopadłe, więc ich iloczyn skalarny musi być równy 0 :
→ →
CA o CB = ( 7 − x)*( − 1 − x) + 8*2 = 0
− 7 − 7 x + x + x2 + 16 = 0
x2 − 6 x + 9 = 0
( x − 3)2 = 0
x = 3
Odp. C = ( 3 ; 0 )
===============
2 sty 19:14
Janek191:
a) A = ( 7 ; 8 ) B = ( − 1 ; 2)
C = ( x ; 0)
Wektory:
→
CA = [ 7 − x ; 8 − 0 ] = [ 7 − x ; 8 ]
→
CB = [ − 1 − x ; 2 − 0 ] = [ − 1 − x ; 2 ]
Te wektory muszą być prostopadłe, więc ich iloczyn skalarny musi być równy 0 :
→ →
CA o CB = ( 7 − x)*( − 1 − x) + 8*2 = 0
− 7 − 7 x + x + x2 + 16 = 0
x2 − 6 x + 9 = 0
( x − 3)2 = 0
x = 3
Odp. C = ( 3 ; 0 )
===============
2 sty 19:14
Janek191:
b)
A = ( 7 ; 8) B = ( − 1 ; 2)
S − środek okręgu opisanego na Δ ABC
S − środek odcinka AB
| | 7 − 1 | | 8 + 2 | |
xs = |
| = 3 ys = |
| = 5 |
| | 2 | | 2 | |
S = ( x
1; y
s) = ( 3 ; 5)
r = I SA I
r
2 = I SA I
2 = ( 7 − 3)
2 + ( 8 − 5)
2 = 16 + 9 = 25
r =
√25 = 5
Mamy napisać równanie okręgu będącego obrazem okręgu o równaniu
( x − 3)
2 + ( y − 5)
2 = 25
w jednokładności o środku P = ( 1 ; 0 ) i skali k = − 2
więc
→ →
PS
1 = − 2 PS oraz r
1 = I − 2 I*r = 2*5 = 10
[ x − 1; y − 0 ] = − 2* [ 3 − 1; 5 − 0 ]
[ x − 1 ; y ] = − 2* [ 2 ; 5] = [ − 4; − 10 ]
x − 1 = − 4 i y = − 10
x = − 3 i y = − 10
S
1 = ( − 3; − 10 ) oraz r
12 = 100
Odp.
( x + 3)
2 + ( y + 10)
2 = 100
=======================
2 sty 19:29