Równanie trygonometryczne z parametrem Marshall: Witam! Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania! Dla jakich wartości parametru m równanie m sin² x + 2 sinx −2m = 0 ma rozwiązanie? Podstawiając t = sinx, mam mt² + 2t − 2m = 0. Żeby były jakiekolwiek rozwiązania, mam Δ≥0, a więc m∊R. Jednak jako że t = sinx, |t|≤1, a więc

	−2+ √8m2 + 4		−2 − √8m2 + 4
−1 ≤		≤ 1 a także −1 ≤		≤ 1
	2m		2m

Wynik powinien być −2≤m≤2, jednak nie mam pomysłu, jak rozwiązać te nierówności. Proszę o pomoc.

Eve: licznik ≥ mianownikowi i licznik≤ mianownkiowi

Mila: sin² x + 2 sinx −2m = 0 ⇔ sin²x+2sinx=2m f(x)=sin²x+2sinx sinx=t i |t|≤1 f(t)=t²+2t

	−2
tw=		=−1
	2

Wierzchołek paraboli x_w=−1∊<−1,1> zatem najmniejsza wartość f(t) w tym przedziale jest równa f(−1)=(−1)²+2*(−1)=−1 Największa wartość f(t) w przedziale <−1,1>: f(1)=1+2=3 Zw_f=<−1,3>⇔ Dla m takiego, że : −1≤2m≤3 podane równanie ma rozwiązanie⇔

	1
m∊<−		,3>
	2

Marshall: Dzięki Eve i Mila za odpowiedzi! @Mila, w równaniu przed sin² x stoi jeszcze m Przepraszam za niewyraźny zapis.

Mila: To zmienia sytuację. Trzeba inaczej. Czy rozwiązałeś wg wskazówki Eve ?

Marshall:

	−2 + √8m2+4
Mniej więcej tak, mianowicie próbuję rozwiązać równanie |		|≤1, z czego mam
	2m

|−2 + √8m² + 4|≤ |2m| ale niewiele to daje.

Mila: Dobrze: Np. dalej tak. |−2+2√2m²+1|≤|2m| /:2 |√2m²+1−1|≤|m| /² 2m²+1−2√2m²+1+1≤m²⇔ m²+2≤2√2m²+1 /² m⁴+4m²+4≤4*(2m²+1)⇔ m⁴−4m²≤0⇔ m²*(m²−4)≤0⇔ m²−4≤0 ⇔m∊<−2,2>

Marshall: Bardzo dziękuję!

Mila: Myślę o innym sposobie, zaglądnij tu później.

Marshall: Dobrze, będę pamiętał

Mila: Ponieważ w zadaniu mamy sytuację, że f(t) ma mieć conajmniej jedno miejsce zerowe (to wystarczy) z przedziału <−1,1> , to jeszcze musisz rozwiązać drugi warunek: Dołączamy do tamtego warunku ( ze spójnikiem ) lub |−2−2√2m²+1|≤|2m|⇔ |√2m²+1+1|≤|m| obie strony są nieujemne, to można podnieść (jak poprzednio) do kwadratu⇔ 2m²+1+2√2m²+1+1≤m²⇔ m²+2+2√2m²+1≤0 brak rozwiązania , lewa strona jest dodatnia dla każdego m∊R odp. m∊<−2,2> ========== Sposób z wykresem w tym przypadku jest bardziej skomplikowany.

Marshall: Nie chciałem już umieszczać tego wątku z powrotem na górze, ale sumienie nie dawało mi spokoju, więc jeszcze raz dziękuję za pełne rozwiązanie.

Eta: