Czy mogę taką całkę wyliczyć z podstawienia Eulera? Jędrzej: ∫1/(sqrt(−3x²+2x+1))

M:

Mariusz:

	1
∫		dx
	√−3x2+2x+1

√−3x²+2x+1 = xt+1 −3x²+2x+1 = x²t²+2xt+1 −3x²+2x = x²t²+2xt 0 = x²t²+2xt + 3x² − 2x 0 = x²(t²+3)+2x(t−1) 0 = x(x(t²+3) + 2(t−1)) x = 0 ⋁ x(t²+3) + 2(t−1) = 0 x(t²+3) + 2(t−1) = 0 x(t²+3) = 2(1−t)

	1−t
x = 2
	t2+3

	(1−t)t
√−3x2+2x+1 = 2		+1
	t2+3

	2t−2t2+t2+3
√−3x2+2x+1 =
	t2+3

	t2−2t−3
√−3x2+2x+1 = −
	t2+3

	−1*(t2+3)−2t(1−t)
dx = 2		dt
	(t2+3)2

	−t2−3−2t+2t2
dx = 2		dt
	(t2+3)2

	t2−2t−3
dx = 2		dt
	t2+3)2

	1		t2+3		t2−2t−3
∫		dx = ∫(−		)*(2		)dt
	√−3x2+2x+1		t2−2t−3		t2+3)2

	1		1
∫		dx =−2∫		dt
	√−3x2+2x+1		t2+3

	1		2		1
∫		dx =−		∫		dt
	√−3x2+2x+1		3		t2   1+   3

	1		2		1
∫		dx =−		∫		dt
	√−3x2+2x+1		3		t   1+( )2   √3

	1		2√3		1   √3
∫		dx =−		∫		dt
	√−3x2+2x+1		3		t   1+( )2   √3

	1		2√3		t
∫		dx =−		arctg(		)+C
	√−3x2+2x+1		3		√3

	1		2√3		t
∫		dx =−		arctg(		)+C
	√−3x2+2x+1		3		√3

√−3x²+2x+1 = xt+1 √−3x²+2x+1 − 1 = xt

	√−3x2+2x+1 − 1
t =
	x

	1		2√3		√−3x2+2x+1 − 1
∫		dx =−		arctg(		)+C
	√−3x2+2x+1		3		√3x

	1		2√3		1 − √−3x2+2x+1
∫		dx =		arctg(		)+C
	√−3x2+2x+1		3		√3x

Mariusz: Szybciej byłoby sprowadzić trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej i zastosować liniowe podstawienie dające arcus sinus

	2		1
−3x2+2x+1 = −3(x2−		x−		)
	3		3

	2		1		1		1
−3x2+2x+1 = −3(x2−		x +		−		−		)
	3		9		9		3

	4		1
−3x2+2x+1 =		− 3(x−		)2
	3		3

	1		1
∫		dx = ∫		dx
	√−3x2+2x+1		√4/3−3(x−1/3)2

	2
√3(x−1/3) =		t
	√3

	2
√3dx =		dt
	√3

	2
dx =		dt
	3

	1		2		1
∫		dx =		∫		dt
	√−3x2+2x+1		3		√4/3−4/3t2

	1		2	√3		1
∫		dx =			∫		dt
	√−3x2+2x+1		3	2		√1−t2

	1		√3		1
∫		dx =		∫		dt
	√−3x2+2x+1		3		√1−t2

	1		√3
∫		dx =		arcsin()+C
	√−3x2+2x+1		3

	2
√3(x−1/3) =		t
	√3

√3
	√3(x−1/3) = t
2

1
	(3x−1) = t
2

	1		√3		3x−1
∫		dx =		arcsin(		)+C
	√−3x2+2x+1		3		2