Równania Anita: Cześć wszystkim! Mam wielką prośbę , czy pomógłby mi ktoś zrobić te równania bo niestety ich nie rozumiem Z góry dziękuję a)3tg(π/4−x)=√3 b)sinx+sin5x=sin3x

PW: a)

	π		√3
tg(		− x) =		.
	4		3

Wiemy, że

	√3		π
		= tg		,
	3		6

nasze równanie ma więc postać

	π		π
tg(		− x) = tg		,
	4		6

a to oznacza, że

	π		π		π
		=		− x +		+ kπ, k∊C
	6		4		6

	π		π
x =		−		+ kπ
	4		6

	π
x =		+ kπ, , k∊C
	12

PW:

	π
Poprawka: w 3. wierszu od dołu niepotrzebne		po prawej stronie, wiersz ten ma mieć
	6

postać

	π		π
		=		− x + kπ, , k∊C
	6		4

Anita: dziękuję ! A mógłbyś mi pokazać jak zrobić przykład b) ?

PW: Zgodnie z wzorem na sumę sinusów

	5x+x		5x−x
sin5x+sinx = 2sin		cos		= 2sin3xcos2x,
	2		2

równanie ma więc postać 2sin3xcos2x = sin3x sin3x(2cos2x−1) = 0

	1
sin3x = 0 ∨ cos2x =		,
	2

dalej sama już zrobisz?

Anita: właśnie jakbyś mi pomógł do końca zrobić bym dokładnie to przeanalizowała i wiedziałabym już jak się za to zabrać

Ziutek:

daras: przeanalizować to trzeba już samemu

PW: sin3x = 0 to podstawowy typ równiania trygonometrycznego. Wiemy, że sinus zeruje się w zerze i co π (warto tu sobie przypomnieć wykres). Oznacza to, że 3x = 0 + kπ, k∊C i po podzieleniu stronami przez 3

	π
(1) x = k		, k∊C.
	3

	1
Równanie cos2x =		jest również podstawowym typem równania trygonometrycznego
	2

	π
cos2x = cos
	3

	1
(to wiemy z gimnazjum, że cos60° =		).
	2

Wobec tego

	π		π
2x =		+ 2kπ, k∊C ∨ 2x = −		= 2nπ, n∊C
	3		3

W tym miejscu warto narysować wykres funkcji kosinus i pokazać, że ma ona jednakowe wartości

	π		π
dla		i dla −		.
	3		3

Po podzieleniu stronami przez 2 otrzymamy dwie serie rozwiązań:

	π		π
(2) x =		+ kπ ∨ x = −		+ nπ, k,n∊C.
	6		6

Odpowiedź to trzy serie rozwiązań danych wzorami (1) i (2)

Ziutek: wielkie dzięki !

daras: maładiec