Oblicz granice funkcji. sandra: Witam. Zwracam się do Was z prośbą o rozwiązanie poniższych granic funkcji: 1) lim x→1 sin² (x−1)/ x²−1 2) lim x→0 √x²+1−√x+1/1−√x+1 3) lim x→+∞ (1+√x/1+2 √x)^x Wyniki powinny wyjść następujące: 1) 0 2) 1 3) 0 Proszę o pomoc

Hajtowy: w 2 masz bardzo ładne mnożenie przez sprzężenie o ile to wygląda tak jak myślę...

Gray: Nikt?

	sin2(x−1)		sin2(x−1)		x−1
Ad. 1)		=				=
	x2−1		(x−1)2		x+1

	sin(x−1)		x−1
= (		)2		→ 1 * 0 = 0
	x−1		x+1

Do drugiego masz wskazówkę. Ad. 3) Można skorzystać z granicy z e, ale można i tak:

	1+√x		0,5√x+√x		3		√x
0≤		≤		=				=
	1+2√x		1+2√x		2		1+2√x

	3		1		3		1		3
=				≤				=
	2		1/√x + 2		2		2		4

	1+√x
Stąd 0≤ (		)x ≤ (3/4)x, ale (3/4)x → 0 zatem z tw. o trzech funkcjach
	1+2√x

	1+√x
również (		)x→0
	1+2√x

Koniec.

sandra: Dziękuję Hajtowy i Gray W drugim napotykam na problem taki, że licząc: lim x→0 √x²−√x+1/1−√x+1 robię ze wzoru a−b= a²−b²/a+b i zatrzymuję się na etapie x²−x/√x²+√x+1* 1+√x+1/−x Co dalej zrobić?

sandra: Trzeci przykład wolałabym z e, bo nie miałam takiej metody jak powyżej. A licząc z e zatrzymuję się na etapie: e lim x→+∞ −√x*x/1+2 √x. Co dalej?

Gray: Napisz to Twoje rozwiązanie.

sandra: 2) √x²+1−√x+1/1−√x+1= ze wzroru a−b=a²−b²/a+b czyli = (√x²+1)²−(√x+1)²/√x²+1+√x+1 * 1+ √x+1/ 1²− (√x+1)²= x²+1−x−1/ √x²+1+√x+1 * 1+ √x+1/ 1−x−1= x²−x/ √x²+1+√x+1 * 1+√x+1/−x= x(x−1)/ √x²+1+√x+1 * 1+√x+1/−x (x się skracają) zostaje = x−1/√x²+1+√x+1 * 1+√x+1/ −1 co dalej?

sandra: 3) 1+√x/1+2√x= 1+2√x−√x/1+2√x= 1+2√x/1+2√x + −√x/1+2√x= (1+ 1/1+2√x/−√x) do potęgi (1+2√x/−√x) do potęgi (−√x/1+2√x*x)= e lim x→+∞ −√x*x/1+2√x co dalej?

razor:

1+√x		1		1+√x		1
	dąży do		więc (		)x → [(		)∞] = 0
1+2√x		2		1+2√x		2

sandra: Ale czy tak można zrobić w granicach funkcji? W graniach ciągów tak, ale tutaj nie jestem pewna.

sandra: Proszę o pomoc.

Gray: Tak, można.

sandra: Jeżeli chcę zrobić z e jak powyżej 3) przykład oraz 2) ze wzoru który podałam, co dalej zrobić by uzyskać wyniki odpowiednio dla przykładów 0 i 1?