pochodna z definicji z modułem john2: Chciałem obliczyć pochodną f(x) = |x| z definicji i mam problem z opuszczeniem modułu.

	f(x + h) − f(x)		|x + h| − |x|
limh−>0 =		= limh−>0 =
	h		h

Rozumiem, że trzeba to zrobić osobno dla x < 0, x = 0 i x > 0, ale weźmy tylko przypadek x < 0

	|x + h| − |x|
limh−>0 =		= ...rozbijam na jednostronne
	h

	|x + h| − |x|		−(x + h) − (−x)
limh−>0− =		= limh−>0− =		= −1
	h		h

tutaj było jasne, jak opuścić moduł, bo x i h są ujemne, ale w przypadku x −> 0⁺ mam problem (choć, wiadomo że granica też ma wyjść −1)

	|x + h| − |x|
limh−>0+ =		= ...
	h

Skąd mam wiedzieć, jaki znak ma wyrażenie x + h? h jest czymś dodatnim nieskończenie bliskim zera. Ale x też może być czymś nieskończenie bliskim zera, ale ujemnym. Na przykład, gdyby nieformalnie podstawić np. za x = −0,001 a za h = 0,01 będzie |−0,001 + 0,01| = |0,009|, więc wartość w module jest dodatnia. Natomiast dla x = −0,01 i h = 0,001 |−0,01 + 0,001| = |−0,009|, więc wartość w module jest ujemna.

Mila: 1) dla x>0 badasz pochodną f(x)=x 2) dla x<0 badasz pochodną f(x)=−x 3) Pochodna w zerze:

	f(0+h)−f(0)
limh→0+		=
	h

	|h|
=limh→0+		=1
	h

	|h|		−h
limh→0−		=limh→0−		=−1
	h		h

john2: Ale ze mnie... Wszystko jasne. Dzięki.

Mila: