Wyznacz ekstremum funkcji Jo: f(x)=xarctg(x)−1/2 ln(x²+1) −1/2 (arctgx)²

john2: Zacznij od wyznaczenia dziedziny. Oblicz pochodną. Przyrównaj ją do zera. Napisz, co Ci wyszło.

Jo: Dzięki. Proszę o obliczenie pochodnej w celu sprawdzenia. Nie jestem pewny ostatniego członu (1/2(arctgx)²).

john2:

	1		1		1
(		* (arctgx)2)' =		* ((arctgx)2)' =		* 2arctgx * (arctgx)' = ...
	2		2		2

U mnie pochodna wyszła:

	1
y' = arctgx − arctgx *
	1+x2

co można doprowadzić do ładnej postaci:

	x2
y' = arctgx *
	x2 + 1

Jo: Dziedzina: x∊R Pierwsza pochodna: f'(x)= −2arctgx−2x+2/(2x²+1) Taka mi wyszła. Możesz mi rozpisać jak liczyłeś pochodną? Proszę. f'(x)= 0 ⇔arctgx=−x+1 Wiadomo, że to nie jest koniec, ale obawiam się, że mam błędy, których nie dostrzegam. Pozdrawiam!

john2: ok chwila

john2:

	1		1
[ xarctgx −		ln(x2+1) −		(arctgx)2 ]' =
	2		2

	1		1
= [ xarctgx ]' − [		ln(x2+1) ]' − [		(arctgx)2 ]' =
	2		2

	1		1		1
= [ 1 * arctgx + x *		] −		[ ln(x2+1) ]' −		[ (arctgx)2 ]' =
	x2 + 1		2		2

	x		1		1		1		1
= [ arctgx +		] −		[		* 2x ] −		[ 2arctgx *		] =
	x2 + 1		2		x2+1		2		x2+1

	x		x		1
= [ arctgx +		] − [		] − [ arctgx *		] =
	x2 + 1		x2+1		x2+1

te nawiasy tak długo ciągnąłem, żeby było czytelniej

	x		x		1
= arctgx +		−		− arctgx *		=
	x2 + 1		x2+1		x2+1

	1
= arctgx − arctgx *		=
	x2+1

	1
= arctgx * (1 −		) =
	x2+1

	x2+1		1
= arctgx * (		−		) =
	x2+1		x2+1

	x2
= arctgx * (		)
	x2+1

Wiesz, co dalej robić?

Jo: arctgx*(x²/x²+1)=0 /:(x²/X²+1) arctgx= 0 x=0 Monotoniczność f'(x)>0 ⇔x∊(−∞,0) f'(x)<0 ⇔ x∊(0,+∞) Było pytanie o ekstremum. Czy takie rozwiązanie jest poprawne? Dziękuję za okazanie wyrozumiałości i poświęcony czas.

Jo: Miało być odwrotnie.

Jo: f'(x)>0 x∊(0,+∞)

john2:

	x2
Lepiej nie dzielić przez		bo to wyrażenie może być zerem.
	x2 + 1

	x2
arctgx *		= 0 / * x2+1
	x2+1

x² * arctgx = 0 x² = 0 ∨ arctgx = 0 x = 0 ⋁ x = 0 x = 0 jest potrójnym rozwiązaniem Zbadajmy znak pochodnej:

	x2
f(x) = arctgx *
	x2+1

	x2
Zauważmy, że znak pochodnej zależy tylko od arctgx, bo		jest zawsze ≥ 0
	x2+1

więc f'(x) > 0 gdy arctgx > 0 x > 0 f'(x) < 0 gdy arctgx < 0 x < 0

john2: Jeszcze podaj współrzędne ekstremum i określ czy to minimum, czy maksimum