rachunek różniczkowy, pochodne, na poziomie LO, do sprawdzenia
Michał: Witam,
Mam problem z jednym z zadań. Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu.
Oto treść: Narysuj wykres funkcji f i wyznacz jej ekstrema. W których punktach funkcja ta nie
ma pochodnej?
Właściwie to je już rozwiązałem, ale nie wiem czy dobrze. Prosiłbym o sprawdzenie rozwiązania.
x∊R
| | x2−1 | | 1−x2 | |
| | ⎧ | |
| gdy x∊(−∞;−1>∪<1;+∞) | | | f(x) = | ⎨ | | |
| gdy −1<x<1 | |
|
| | x2+1 | | x2+1 | |
lim f(x) x−>+
∞=1
lim f(x) x−>−
∞=1
Więc funkcja ma asymptotę y=1
f(0)=0,5
f(x)=0 <=> gdy x ∊{−1,1}
Funkcja jest ciągła, bo granice w −1 i 1 są równe po obu stronach.
Liczę pochodne:
| | 4x | | −4x | |
| | ⎧ | |
| gdy x∊(−∞;−1>∪<1;+∞) | | | f'(x) = | ⎨ | | |
| gdy −1<x<1 | |
|
| | (x2+1)2 | | (x2+1)2 | |
f'(x)=0 dla x=0
Rysuję wykres pochodnej
f'(x)>0 gdy x∊(−1;0)∪(1;+
∞) − Funkcja f jest rosnąca w każdym z tych przedziałów
f'(x)<0 gdy x∊(−
∞;−1)∪(0;1) − Funkcja f jest malejąca w każdym z tych przedziałów
No i teraz nie wiedziałem jak udowodnić, że funckja nie ma pochodnej w x∊{−1;1}
Więc postanowiłem wyliczyć granice obustronne, ale nie wiem czy to jest wystarczającym dowodem
tego, że funkcja nie jest ciągła.
W każdym razie te granice dla −1
−=1
−1
+=−1
+1
−=−1
+1
+=1
I tu właśnie wysnułęm wniosek, że dla x=1 i x=−1 nie mają pochodnych, ale trochę mi to nie
wynika z tych przedziałów u góry, chyba ,że coś źle zrobiłem.
W kazdym razie bardzo proszę o sprawdzenie, poprawienie, pomoc. Z góry dziękuję bardzo i
pozdrawiam.
Michał: Kurczę, coś się schrzaniło w widoku tych równań.
| | ⎧ | (x2−1)/(x2+1) gdy x∊(−∞;−1>∪<1;+∞) | |
| f(x) = | ⎨ | |
|
| | ⎩ | (1−x2)/(x2+1) gdy −1<x<1 | |
| | ⎧ | (4x)/(x2+1)2 gdy x∊(−∞;−1>∪<1;+∞) | |
| f'(x) = | ⎨ | |
|
| | ⎩ | (−4x)/(x2+1)2 gdy −1<x<1 | |
Przepraszam, że tak, ale niestety coś źle działa jak wpiszę ładnie.