wykazywanie madzik: Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich x i y takich, że x+y=a, gdzie a jest liczba z przedziału (0,2), zachodzi nierówność:

1		1
	+		≥a
x		y

Gray:

	a		a
Łatwo zauważyć, że xy=x(a−x) ≤		(a−		) ← wierzchołek paraboli leży pośrodku jej
	2		2

pierwiastków;

	a		a		a2
czyli xy ≤		(a−		) =		<1 ← założenie dot. a∊(0,2)
	2		2		4

	1
Stąd		>1 (*)
	xy

Zatem

1		1		x+y		1
	+		=		= (x+y)		> z nierówności (*) > x+y
x		y		xy		xy

Koniec PS> Pokazałem nawet więcej: nierówność jest ostra.

PW: Nierówność jest równoważna nierowności

	y+x
		≥ a
	xy

	a
		≥ a,
	xy

a ponieważ a jest liczbą dodatnią − nierówności

	1
		≥ 1,
	xy

czyli przy podanych założeniach (1) xy ≤ 1 Z założenia xy = x(−x+a),

	a
a funkcja f(x) = −x(x−a) osiąga maksimum dla x =		i maksimum to jest równe
	2

	a		a		a		a2
f(		) = −		(		− a) =		.
	2		2		2		4

	a2
Oznacza to, że największa wartość lewej strony (1) jest równa		, czyli nierówność (1)
	4

jest prawdziwa, gdyż z założenia 0 < a < 2, a więc a² < 4 Uwaga. Z założenia a < 2, a zatem równośc a² = 4 nie ma miejsca, czyli teza mogłaby brzmieć

	1		1
		+		> a.
	x		y

Lepiej może poprawić założenie: a ∊(0, 2> − wtedy teza jest prawdziwa i równość ma miejsce dla x = y = 1, a = 2..