Dowód. Blue: Dany jest prostopadłościan o krawędziach a, b, c i przekątnej d. Wykaż, że a + b + c ≤√3d.

zombi: d = √a²+b²+c², skorzystaj z nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną i koniec zadania.

Blue: i na końcu powinno wyjść tak: (a−b)²+(a−c)²+(b−c)²≥0?

zombi: Tak, ale jeśli się powołujesz na nierówność między średnimi to raczej nie musisz udowadniać tego faktu

Blue: Czyli zombi jak Ty to chciałeś zapisać? Możesz pokazać?

zombi: Mamy prostopadłościan o bokach a,b,c, łatwo stąd liczymy, że d² = a² + b² + c². (*) Więc teraz korzystając z nierówności między średnią kwadratową i arytmetyczną liczb a,b,c mamy

	a2+b2+c2		a+b+c
√		≥		⇔ √3√a2+b2+c2 ≥ a+b+c, czyli
	3		3

korzystając z tej nierówności i z (*), otrzymujemy √3√a²+b²+c² = √3√d² = √3d ≥ a+b+c koniec.

Blue: A mogę też tak zrobić, że po prostu podstawić d= √a²+b²+c² w tej nierówności, potem podnieść do kwadratu i zapisać tak, jak wyżej zapisałam ?

zombi: Jak już mówiłem powołując się na nierówność między średnimi nie musisz jej udowadniać. To co ty chcesz zrobić, to udowodnić nierówność, że zachodzi a następnie wstawić d w miejsce √a²+b²+c², oczywiście możesz, tylko dokładasz sobie roboty. Ponadto przy zapisie który chcesz zastosować, musisz pamiętać, żeby pisać znak ⇔, bo w przeciwnym razie udowodnisz twierdzenie odwrotne, które wcale nie musi być prawdziwe.

Blue: a jak nie zapiszę tego znaku to jest wielki błąd ?

zombi: To nie wiadomo czy przekształcenie jest równoważne i wychodząc od naszej nierówności między średnimi, dochodząc do tej (a−b)² + ... udowodnisz twierdzenie odwrotne, czyli zupelnie coś innego

zombi: Ogólnie nasze zadanie wygląda tak: (d jest przekątną prostopadłościanu o bokach a,b,c) ⇒ (√3d ≥ a+b+c) Pokazując prawdziwość tego zdania musimy się posłużyć lematem (tw. pomocniczym) tutaj naszym lematem jest nierówność między średnimi

	a2+b2+c2		a+b+c
√		≥		. (*)
	3		3

Aby pokazać, prawdziwość lematu, musimy udowodnić że ta nierówność jest prawdziwa. I teraz przekształcając (*) do postaci (a−b)² + ... ≥ 0 musimy pisać między przejściami ⇔, bo wychodząc z (*) ⇒ (a−b)² + ... pokazujemy twierdzenie odwrotne, a mamy w drugą stronę tj. z założenia (a−b)² + ... i a,b,c>0 ⇒ (*).

Blue: ok, dzięki