liczby zespolone Lugo: Rozwiąż równania w dziedzinie zespolonej z² − (5 + 2i)z +(7+11i)=0 z² − (4−i)z + (5+i)=0 x⁴ − 2x³ + 11x² − 18x + 18=0 rozwiąż równanie x⁴ − 2x³ + 11x² − 18x + 18=0 wiedząc że x1=1−i jest jednym z jego pierwiastków

Janek191: 1) z² − ( 5 + 2 i) z = ( 7 + 11 i) = 0 Δ = ( 5 + 2 i)² − 4*1*( 7 + 11 i) = 25 + 20 i + 4 i² − 28 − 44 i = − 7 − 24 i √Δ = − 3 + 4 i lub √Δ = 3 − 4 i więc

	5 + 2 i −( − 3 + 4 i)
z =		= 4 − i
	2

lub

	5 + 2 i − 3 + 4 i
z =		= 1 + 3 i
	2

Janek191: 2) z² − ( 4 − i ) z + ( 5 + i ) = 0 Δ = ( 4 − i)² − 4*1*( 5 + i ) = 16 − 8 i − 1 − 20 − 4 i = − 5 − 12 i √Δ = 2 − 3 i więc

	4 − i − 2 + 3 i
z =		= 1 + i
	2

lub

	4 − i + 2 − 3 i
z =		= 3 − 2 i
	2

irena_1: (x−1+i)(x³+ax²+bx+c)=x⁴−2x³+11x²−18x+18 x⁴+(a−1+i)x³+(b−a+ai)x²+(c−b+bi)x+(ci−c)=x⁴−2x³+11x²−18x+18=0 ci−c=18 c(i−1)=18 /*(i+1) −2c=18i+18 c=−9−9i −9−9i−b+bi=−18 −b+bi=−9+9i b(−1+i)=9(−1+i) b=9 9−a+ai=11 −a+ai=2 a(−1+i)=2 /*(1+i) −2a=2+2i a=−1−i (x−1+i)(x³(−1−i)x²+9x+(−9−9i))=0 x₁=1−i x³+(−1−i)x²+9x+(−9−9i)=0 x²(x−1−i)+9(x−1−i)=0 (x²+9)(x−1−i)=0 x²=−9 lub x=1+i x₂=3i lub x₃=−3i lub x₄=1+i

niechciany: w(x) = x⁴ − 2x³ + 11x² − 18x + 18 jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Skoro x₁ = 1 − i jest jego pierwiastkiem to również x₂ = 1 + i jest jego pierwiastkiem. Wielomian w(x) jest zatem podzielny przez tójmian kwadratowy : (x − x₁)(x − x₂) = x² − 2x + 2 Po podzieleniu dostajemy : w(x) = (x² − 2x + 2)(x² + 9) i z tej postaci doliczamy dwa ostatnie pierwiastki : x₃ = 3i , x₄ = −3i

romans: 60

Lugo: Janek191 a skąd się wziął pierwiastek z delty w rozwiązaniu pierwszego przykładu bo nie mam pojęcia jak go policzyć?

utem: Ze wzoru skróconego mnożenia. Metoda prób. (3−4i)²=9−24i−16=−7−24i⇔ (−7−24i)=(3−4i)²

Lugo: Czy to jedyna metoda poza metodą ze wzoru de'Moivra?

niechciany: Pierwiastek z liczby zespolonej jest również liczbą zespoloną: √− 7 − 24i = x + yi , gdzie x,y ∊ R −7 − 24i = x² − y² + 2xyi x² − y² = −7 2xy = −24 Wystarczy rozwiązać ten układ równań. Oczywiście interesującym może być pytanie: "Jak najszybciej rozwiązać ten układ?" Tutaj wkraczasz ty Lugo. Znajdź efektywny sposób na rozwiązanie tego układu, a może nawet wyprowadź wzór ogólny na pierwiastek z liczby zespolonej.