styczne susel: Wyznacz rownania stycznych do wykresow funkcji f(×)=x²−×+1 g(×)= 1/2ײ−×+2

J: i to jest cała treść zadania..?

Tadeusz: pewnie stycznych jednocześnie do obu funkcji

:): własnie tez mi czegoś brak

susel: Tak oczywiscie wspolnych stycznych

susel: Wyznacz rownania wspolnycb stycznych do wykresow funkcji

susel: Wiem tyle ze najpierw pochodna i wyznaczylem

Tadeusz:

susel: Ale tutaj chodzi bardziej o wyznaczenie równań tych pristych

susel: prostych

Tadeusz: ... to proste −

Tadeusz: szukane styczne zapisz równaniem y=ax+b Mają one mieć po jedny punkcie wspólnym z każdą z parabol. Zatem: x²−x+1=ax+b x²/2−x+2=ax+b x²−x(1+a)+1−b=0 x²/−2x(1+a)+4−2b=0 Δ=0 Δ=0 1+2a+a²−4+4b=0 4+8a+4a⁻16+8b=0 a²+2a−3+4b=0 4a²+8a−12+8b=0 Rozwiązując ten układ dostaniesz b=0 a₁=1 a₂=−3 Szukane styczne to: y=x y=−3x

J: Niech punkty styczności mają współrzedne: (x₁,f(x₁)) oraz (x₂,g(x₂)).. równanie stycznej: y − f(x₀) = f'(x₀)(x−x₀) obliczamy pochodne: f'(x) 2x − 1 g'(x) = x −1 podstawiamy do równania stycznej i ptrzymujemy układ równań: y − (x₁² − x₁ +1) = (2x₁ −1)(x − x₁)

	1
y − (		x22 − x +2) = (x −1)(x−x2)
	2

przekształacamy układ do postaci: y = m₁(x₁)*x + n₁(x₁) y = m₂(x₂)*x + n₂(x₂) skoro to ma być ta sama prosta, porównujemy : m₁(x₁) = m₂(x₂) n₁(x₁) = n₂(x₂) z tego układu równań obliczamy : x₁ oraz x₂ , po podstawienu do równania stycznej otrzymujemy jej równanie..

J: ...niepotrzebnie się wysilałem... .. chociaż jest to jednak inna metoda...

Tadeusz: ... jak zawsze w matematyce ... inna ścieżka byle nie zabłądzić −

J:

susel: Dzieki za pomoc zawsze niezawodni

Tadeusz: −

Archy: dlaczego w rozwiązaniu Tadeusza △=0? mógłby mi ktoś to wytłumaczyć?

J: Bo styczna ma jeden punkt wspólny z krzywą, stąd : Δ = 0

Jacek: Dokładnie, dla stycznej w punkcie x₀ do paraboli tylko w x₀ mamy f(x)=s(x) :s − funkcja stycznej w x₀. Czyli f(x)−s(x)=0, ale z warunku styczności wiemy, że te 0 jest tylko dla jednego x=x₀, zatem Δ=0 dla takiej rożnicy.