hoih zombi: Godzio pomóż! Pokazać, że liczba 2ⁿ − 1 nie jest k−tą potęgą żadnej liczby naturalnej. n,k ≥ 2

Godzio: Zaraz pomyślę

Godzio: Nic sensownego nie wymyśliłem, ale znalazłem to: http://www.matematyka.pl/62630.htm na dole jest chyba porządnie rozwiązane z tego co przeanalizowałem

zombi: Chciałem bez kongruencji, może ktoś na innym forum da radę. Wymyśliłem jedynie tyle, dla nieparzystej potęgi. Nie wprost zakładamy istnienie takie liczby t^k, że t^k = 2ⁿ − 1 (przypadek dla k nieparzystego) Wówczas 2ⁿ = t^k + 1 = (t+1)(t^k−1−t^k−2 + ... − t + 1) Czyli wnioskujemy, że t+1 = 2^p, dla jakiegoś tam p<n. Stąd mamy t = 2^p − 1 Rozpatrujemy naszą sumę t^k−1−t^k−2 + ... − t + 1, wyrazy przy których stoją plusy to parzyste potęgi, więc (2^p−1)^2s = 2q + 1 dostaniemy ekstra jedynkę. Dla nieparzystych potęg dostajemy liczbę 2r − 1 ale minus przed całością znowu daje nam ekstra jedynkę czyli ogólnie nasza suma sprowadza się do liczby 2u + 1 + 1 + ... + 1, ile tych jedynek? Ano, k jedynek a k było liczbą nieparzystą więc cała suma jest nieparzysta sprzeczność z tym, że co dla k parzystego?

Kacper: Widziałem już to zadanie gdzieś ładnie pokazane. Zaraz poszukam

zombi: Ja już chyba widziałem 6 sposobów tego zadania. Jak zwykle, nie umiesz niczego nie znajdziesz, a jak już zrobisz to rozwiązania lecą jak z kapelusza. Będę miał następne znacznie trudniejsze, ale wrzucę w osobny temacie.