iho zombi: Udowodnić, że ideał właściwy R jest maksymalny w przestrzeni X wtedy i tylko wtedy, gdy prawdą jest, że dla każdego A⊂X, że bądź A∊R bądź (X\A)∊R. Rodziną R podzbiorów przestrzeni X jest ideałem właściwym, jeśli: − (A∊R ⋀ B⊂A) ⇒ B∊R − (A∊R ⋀ B∊R) ⇒ (A∪B)∊R − X∉R Natomiast ideał właściwy jest maksymalny, jeśli R⊄S, gdzie S jest ideałem właściwym różnym od R. Nie wiem jak formalnie powinien wyglądać taki dowód? Obstawiam, że (⇒) jest łatwa do pokazania, ale za bardzo nie wiem jak to pokazać. Jeśli chodzi o formalność to noga jestem

zombi: (←) Nie wprost. Zakładamy, nie wprost, że R nie jest maksymalny, to bierzemy taki ideał właściwy S, że R⊂S. I niech A∊S−R, wówczas X−A∊R⊂S, czyli A∊S i X−A∊S, więc X∊S. Sprzeczność, bo S zgodnie z założeniem jest ideałem właściwym. (→) Chciałbym nie wprost, ale nie wiem czy jest sens negowania faktu, że ∀A⊂X, zachodzi A∊R albo X−A∊R. Spróbuje, może ktoś mi pomoże. Nie wprost. Zakładamy nie wprost, że nie zachodzi (∀A⊂X, zachodzi A∊R albo X−A∊R), czyli ∃A⊂X, że (A∊R ⋀ X−A∊R) lub (A∉R ∧ X−A∉R). Pierwsza możliwość. Gdyby istniał taki zbiór A⊂X, że A∊R i X−A∊R, to mielibyśmy, że X∊R, co jest sprzeczne, gdyż R jest właściwy, czyli X∉R. Druga możliwość. ∃A⊂X , że A∉R i X−A∉R, czyli istnieje takie S, że A∊S⊄R, ale z założenia, że R jest maksymalny mamy, że R⊄S Sprzeczność ?

zombi: W tej drugiej możliwości nie widzę sprzeczności