jijij zombi: Udowodnij, że jeśli p_n jest ntą liczbą pierwszą to lim sup (p_n+1−p_n) = ∞. Koncepcję miałem taką, żeby pokazać, że ciąg a_n = p_n+1−p_n jest nieograniczony z góry. Wówczas wynik jest natychmiastowy. Chciałem założyć nie wprost, że a_n < M dla każdego n. I po prostu wskazać dwie liczby pierwsze kolejne, które tej nierówności nie spełniają, ale mam pewnego rodzaju problem z konstrukcją tej p_n+1, takiej, żeby była ona > M + p_n.

zombi: Mógłbym napisać weźmy p_n+1 takie, że p_n+1 > p_n + M, ale nie mamy pewności, że taką p_n+1 można wskazać, gdyż liczby pierwsze występują w nieregularnych odstępach.

zombi: W pracy Edrosa natknąłem się na tę granicę, jednakże przyjęte jest tam, że to "well−known fact"

PW: To jest rzeczywiście "well−known fact", pokazuje się że w zbiorze liczb naturalnych istnieją "dowolnie długie odcinki", w których nie ma liczb pierwszych.

zombi: A jak to pokazać? Ew. czy posiadasz PW link do takiego dowodu ?

zombi: Już wiem, wystarczy wziąć łańcuch liczb naturalnych postaci n!+2, n!+3, ..., n!+n, wszystkie te liczby są złożone, więc nie ma tam liczby pierwszej, czyli kontynuując moje rozumowanie, mogę wziąć łańcuch długości M taki, że nie będzie w nim liczby pierwszych, zatem mogę znaleźć takie dwie kolejne liczby pierwsze, żeby ich różnica była większa od M, czyli otrzymam sprzeczność z założeniem, że owa różnica jest ograniczona. Wniosek limsup p_n+1−p_n = ∞, gdyż p_n+1−p_n jest z góry nieograniczona.

PW: Cholera, nie pamiętam .

Kacper: Te z silnią to najprostszy sposób

zombi: Ok to zaraz następne zadanie