Granica hospital Aneta: korzystając z reguły de' Hospitala wyznacz granicę lim x→0 [ln(x+1)]^x

Aneta: pomoże ktoś?

ledzeppelin21: Reguły de'Hospitala możesz używać tylko wtedy kiedy masz albo ⁰₀ albo ^∞_∞ , a tutaj masz symbol nieoznaczony 0⁰ , więc mam pytanie czy w poleceniu było skorzystać z reguły de'Hospitalette czy poprostu oblicz ?

pigor: ..., no właśnie , jabym robił tak : lim_x→0 (ln(x+1))^x= [0⁰] = lim_x→0 e^ln(ln(x+1))x = = lim_x→0 e^xln|ln(x+1)| = e⁰= 1.

ledzeppelin21: O to mi chodziło , że też bym tak liczył ,ale jak musimy skorzystać z de'Hospitala to trzeba przekształcać aż to otrzymania jednego z dwóch symboli.

pigor: ..., co to znaczy musimy , ktoś ci "kazał" z lopitala ...

pigor: hmm..., to może tak : jeśli ln(x+1)>0 ⇔ x+1>1 ⇔ x>0, to

	ln(ln(x+1))		1ln(x+1)* 1x+1
xln(ln(x+1))=		= H =		=
	1x		− 1x2

	−x2		−2x		−2
=		= H =		= H =		= −2(x+1)
	(x+1)ln(x+1)		ln(x+1)+ 1		1x+1

wtedy lim_x→0⁺ (ln(x+1))^x= lim_x→0⁺e^−2(x+1= e^−2(0+1)= e⁻².

J: w wykładniku jest nadal symbol nieoznaczony: 0*∞ ...

J: o , i po to był Hospital...

john2: A nie powinno to wyglądać tak?

	ln(x+1)
limx−>0 (ln(x+1))x = limx−>0 (		* x)x = ...
	x

	ln(x+1)
limx−>0 (		)x = 1
	x

lim_x−>0 x^x = lim_x−>0 e^xlnx = lim_x−>0 e ^{lnx / (1/x)} = ...

	lnx		1   x
limx−>0		=H limx−>0		limx−>0 −x = 0
	1   x		−1   x2

lim_x−>0 e ^{lnx / (1/x)} = [ e⁰ ] = 1

	ln(x+1)		ln(x+1)
limx−>0 (		* x)x = limx−>0 (		)x * xx = 1 * 1 = 1
	x		x

john2: Pytam, bo 1 wychodzi na wolframie, ale nie rozumiem, czemu pigorowi wyszło e⁻², a przecież dobrze zrobił. http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+x-%3E0+%28+log[e%2C%28x%2B1%29]+%29^x

Gray: O 16:57 pigor przesadził licząc z de l'Hospitala trzeci raz coś, co pod tę regułę nie podpada:

	−2x
... =		→0, więc ostatecznie wychodzi e0=1.
	ln(x+1)+1

john2: Aha. Dzięki za odpowiedź.