Kombinatoryka Mia : Cześć, mam dwa zadania do rozwiązania i niestety jeszcze nie wiem jak zrobić, proszę o pomoc: 1.Ile różnych wyników można otrzymać, sumując co najmniej dwie spośród liczb: a) 1,3,5,10,20,50,90 b) 1,3,5,10,20,50,82 ? 2. Ile różnych liczb można utworzyć mnożąc dwie lub więcej spośród liczb: 3,4,4,5,5,6,7,7,7? Naprawdę, bardzo ważne, czy ktoś mógłby wytłumaczyć się za to zabrać?

Mia : Hej, no proszę, niech ktoś pomoże

panpawel: W pierwszym wszystkich sum masz 2⁷ − 8, możliwe, że trzeba jakieś odjąć, dla przykładu 2+8=7+3, nie mam teraz czasu nad tym pomyśleć

panpawel: Nie gwarantuję, że to jest dobra droga do rozwiązania, możliwe, że idzie szybciej jakoś do tego dojść.

Mila: a) Jak podał Pawel suma wszystkich podzbiorów zbioru 7 elementowego i od tego odejmujemy 7 podzbiorów jednoelementowe i jeden zbiór pusty. b) niektóre sumy mozna przedstawić tak: 83=82+1 83=10+20+50+3 85=82+3 85=10+20+50+5 88=10+20+50+5+3 88=82+5+1 86=82+1+3 86=10+20+30+1+5 Nie wiem, czy jeszcze coś można znaleźć wynik będzie to co wcześniej pomniejszone o 4. 120−4=116

PW: (1) 1+3+5+10+20+50+90 = 179 Mamy 7 różnych składników, suma (1) jest jednym z możliwych wyników.. Wyrzucając 1, 2, 3,...5 składników otrzymamy sumę co najmniej dwóch liczb. 1 składnik można usunąć na 7 sposobów.

	7 2
2 składniki można usunąć na		sposobów. Otrzymana suma będzie za każdym razem inna, bo

sumy dwóch różnych liczb spośród danych dają różne wyniki.

	7 3
3 składniki usunięte oznaczają		różnych sum.

	7 4
4 składniki usunięte oznaczają		różnych sum

	7 5
5 składników usuniętych daje		różnych sum.

	7 0		7 1		7 2		7 3		7 4		7 5
Odpowiedź:		+		+		+		+		+		= ...(ładny wynik, wystarczy od

	7 m		7 6		7 7
sumy wszystkich takich		odjąć		+		).

II sposób (pewnie tak liczył panpawel, ale nie miał czasu opisać dlaczego): W ciągu 7−elementowym postawmy na dowolnym miejscu 0 lub 1. Liczba 0 na miejscu k (1≤k≤7) niech oznacza, że nie sumujemy liczby wymienionej w treści zadania na pozycji nr k. Liczba 1 niech oznacza, że liczba wymieniona na miejscu k jest sumowana. Na przykład ciąg (2) (0,1,1,1,0,0,1) oznacza: liczby 3, 5, 10 i 90 będą sumowane, a liczby 1, 20 i 50 − nie. Ciągów o przykładowej postaci (2) jest 2⁷ (wszystkich), od tej liczby należy odjąć liczbę ciągów, w których są same zera lub jedno zero − jest ich 1+7 = 8. Uwaga o tym, że żadne sumy różnych liczb nie dają tego samego wyniku, kończy rozwiązanie. Dlaczego tak jest − trzeba znowu napisać jakieś uzasadnienie, choć rzecz wydaje się oczywista. Odpowiedź: Szukanych sum jest 2⁷ − 8 = 120.

Mila: Na to czekałam, pozdrawiam

Mila: Trochę inaczej to sobie w moim łebku układałam i teraz będę analizować.

PW: Mila, ja tylko zadanie a) rozwiązywałem tłumacząc, skąd się to wzięło, bo panpawel podał tylko wynik.

Mila: Ależ, wiem. Czekałam na taki opis. A co w (b), bo to tylko moja intuicja.

PW: Myślę że b) nie da się lepiej wytłumaczyć, niż to zrobiłaś

Mila: Dziękuję. Pozostaje drugie zadanie.

Mila: 2) Iloczyn wszystkich czynników: 3*4*4*5*5*6*7*7*7=3¹*4²*5²*6¹*7³ Tworzymy iloczyny: Wszystkich iloczynów będzie : (1+1)*(2+1)*(2+1)*(1+1)*(3+1)=2*3*3*2*4=36*4=144 Np. 3⁰*4⁰*5⁰*6⁰*7¹ i taki iloczyn musimy odliczyć, czyli 5 iloczynów odliczamy Może być taki iloczyn: 3⁰*4⁰*5⁰*6⁰*7⁰ też odliczamy Natomiast iloczyn : 3¹*4¹*5⁰*6⁰*7⁰ odpowiada nam W rezultacie szukanych iloczynów będzie : 144−1−5=138 =========== Jeśli to potwierdzi PW to będzie dobrze.