. Franek: Rozłóż na ułamki proste i znajdź całke ∫( (2x+3)dx )/(x²+1) pomóżcie rozłożyć bo nie wiem jak to zrobić a całkę juz pózniej sam policze

Gray: To licz, bo to już jest ułamek prosty

AS: Ułamka tego nie da się rozłożyć na ułamki proste. By obliczyć całkę z tego ułamka należy rozpisać w taki sposób

2*x + 3		2*x		3
	=		+
x2 + 1		x2 + 1		x2 + 1

Pierwszy ułamek przez podstawienie x² + 1 = t drugi przez arctgx

J: ..a po co rozkładać...?

	2x		3
= ∫		dx + ∫		dx = ...
	x2+1		x2+1

J: ..ot,co...

Franek: w sumie racja a nie mogłbym po prostu od razu za t=x² +1 i by wyszło dt= 2xdx a dalej 3∫1/t

J:

	f'(x)
pierwsza całka: ∫		dx = lnIf(x)I + C
	f(x)

J: ... a co zrobisz z trójką ...?

Franek: nie moge jej przed całke wypisać ?

J: tam jest suma, a nie iloczyn...∫3*f(x)dx = 3∫f(x)dx...,ale ∫(3+f(x))dx = ∫3dx + ∫f(x)dx

Franek: czyli w tym wypadku ∫ ( (2x+1)dx )/ (x²+x+1) robie identycznie czyli ∫2x/M +∫1/M

Franek: a ok dzięki

J:

	f'(x)
..w tym przykładzie masz od razu...∫		dx = ...
	f(x)

Franek: nie rozumiem możesz jakoś jaśniej ? dlaczego to jest źle przecież robie tak jak wcześniej ?

Franek: aaa w sumie racja juz chyba wiem o co chodzi chodzi o to ze za t podstawiamy mianownik i wyszstko ładnie wychodzi ?

Franek: nie chyba jednak nie...

J: w ostatnim przykładzie masz sytuację, w której licznik jest pochodną mianownika, więc od razu stosujesz gotowy wzór ...

Franek: no racja i bedzie ∫1/t

J:

	f'(x)
∫		dx = lnIf(x)I + C
	f(x)

Franek: a ∫ dx/ x² +2x +2 to po prostu z wzorku = ln I x² +2x +2 I + C ?

J:

	1
...no i ∫		dt = lnItI + C
	t

J: skąd, przecież licznik nie jest pochodną mianownika...

Franek: no racja głupio napisałem to trzeba przez części

Franek: kurde nie wiem bo jak podstawie mianownik za u i policze pochodną to u'=(2x+2)ln(x²+2x+2) no ale to przemnożone przez ∫1 w niczym nam nie pomaga i nie wiem co zrobić

J:

	dx
nie... = ∫		... i teraz podstawienie: x + 1 = t
	(x+1)2 +1

Franek: eh... to wychodzi ∫ 1/(t² +1 ) i nie wiem co z tym dalej zrobić bo próbwałem i przez podstawienie i przez części i nic mi nie wychodzi

J: całka elementarna ... = arctgt + C

Franek: eh..... ale ze mnie głąb dzięki

Franek: a czy ja to dobrze robie ? ∫ (2xdx)/(x²+6x+10)= t=x²+6x+10 dt=(2x+1)dx dt=2xdx =∫ dt/t = lnI t I +c

Franek: eh... chyba źle bo chyba powinno tam być dt=2xdx + dx a wtedy to juz nie wiem co zrobić

J:

	2x + 6		6
źle = ∫		dx − ∫		dx = ..
	x2 + 6x +10		x2+6x+10

	dx
..pierwszą całkę już umiesz, drugą też: = 6∫		i podstawienie: x + 3 = t ..
	(x+3)2 + 1

Franek: albo nie podobnie jak wtedy można zrobić ze to jest ∫ (2xdx )/( (x+3)² +1 ) tyle że pózniej nie wiem co tutaj podstawić

Franek: kurde no czemu ja na to nie wpadłem czemu

J: ..jak rozwiążesz 200 całek, to nabierzesz wprawy...

Franek: eh... to nie wiem czy zdążę nabrać wprawy do jutrzejszego kolokwium

Franek: a pomożesz jeszcze z tym ∫ dx/(x³ +4x) bo nie wiem za bardzo jak sie za to zabrać

J:

	dx
.. = ∫		dx .. i rozkład na ułamki proste ...
	x(x2+4)

J: ..o jedno dx za dużo ...

Franek: czyli to będzie tak ? =^A_x +(Bx+c)/(x²+4)= (x²(A+B) +Cx +4A)/ ( x(x²+4) A+B=0 C=0 4A=1 A=1/4 B=−1/4 = 1/4∫1/x −1/4∫1/(x²+4) ?