Proszę o pomoc. Maniak: Uzasadnić że równanie ln(x)= 2−x ma rozwiązanie w przedziale [1,2], wiem że to jest z twierdzenie Darboux. czyli pod x w f(x)=lnx−2+x podstawiam 1? i wychodzi f(1)=ln1−2+1=ln1=0<0 Chyba coś robię źle.

J: ..teraz policz f(2) ... > 0 ... wniosek ...?

Maniak: f(2)=ln2−2+2=ln2= e²>0 Tyle że 0<0 To mi nie pasuje.

razor: przecież jeśli f(1) = 0 to znalazłeś już rozwiązanie

razor: nie sprawdzałem, masz źle f(1) = ln1−1 = −1 < 0 f(2) = ln2−2+2 = ln2 > 0 wniosek?

Maniak: Aaaaaaa , teraz to już rozumiem Wniosek musze jakoś rozpisać z tw. Darboux ale nwm co.

Maniak: Z twierdzenia Darboux wynika że w tym przedziale znajduje się rozwiązanie tego równania?

kyrtap: Niech funkcja f będzie ciągła w przedziale domkniętym [a, b] i na końcach tego przedziału przyjmuje wartości różnych znaków. Wówczas funkcja f posiada w przedziale (a, b) miejsce zerowe, tzn. (∃x0 ∈ (a, b)) f(x0) = 0. Jeżeli ponadto funkcja f jest na przedziale [a, b] rosnąca lub malejąca, to ww. miejsce zerowe jest jedyne w tym przedziale.

Maniak: Czyli jak to zapisać? Rozumiem że mam wyznaczyć miejsce zerowe tej funkcji i wyznaczyć w których przedziałach jest rosnąca a w których malejąca.

J: nie .. f(1) < 0 oraz f(2) > 0 i skoro funkcja jest ciągła w podanym przedziale to musi istnieć takie x_o ∊ [1,2],że f(x_o) = 0

Maniak: Zatem z tw. Darboux wynika istnienie pkt. c należącego do [1,2] takiego, że f(c)=0. Ponieważ funkcje lnx oraz −2+x są rosnące na przedziale [1,2]; więc ich suma także jest funkcją rosnącą. Stąd wynika, że w przedziale [1,2] istnieje tylko jedno takie c. Tak więc równanie lnx=2−x ma w przedziale (1,2) tylko jedno rozwiązanie. Może być?