Zbadaj monotoniczność funkcji MatiZ: Witam. Szukałem wszędzie w internecie i nie mogłem znaleźć podobnych zadań do tych: 1. Zbadaj monotoniczność następujących funkcji: a) f(x)=x² (0≤x<+∞) b) f(x)=sinx ((−π/2)≤x≤(π/2)) c) f(x)=tgx ((−π/2)<x<(π/2)) d) f(x)=2x+sinx (−∞<x<+∞) Jak powinienem je rozwiązać? Chodzę na studia i niedługo będę mieć kolokwium z tego. Gdziekolwiek szukałem to znajdywałem tylko materiały z LO o monotonicznościach funkcji, które całkowicie się różniły.

Bogdan: Takie zadanka można znaleźć w starszych podręcznikach do szkół średnich. Założenie: x₂ − x₁ > 0 W każdym z przykładów badamy znak różnicy: f(x₂) − f(x₁), jeśli ta różnica jest dodatnia to funkcja jest rosnąca, a jeśli różnica jest ujemna, to funkcja jest malejąca.

MatiZ: Zgadza się, posiadam skany ze starego ruskiego podręcznika do LO. W przypadku pierwszego przykładu wynika, że mogę za x podstawić dowolną, dodatnią liczbę i zapisać, że: f(2)−f(1)>0 f(2)=2² f(1)=1² 2²−1²=4−1=3 Czyli funkcja jest rosnąca. Jednak za f(1) mógłbym podstawić większą liczbę i funkcja byłaby malejąca. Nie rozumiem tego.

PW: Bo to nie polega na podstawianiu konkretnych liczb. Trzeba wziąć dwie dowolne, tak jak napisał Bogdan. Po podstawieniu dwóch wybranych liczb nie wolno mówić "czyli funkcja jest rosnąca", trzeba wiedzieć, że nierówność f(x₁) > f(x₂) ma miejsce dla wszystkich x₁ > x₂ na badanym przedziale.

MatiZ: Zatem tak to powinno wyglądać? x₂−x₁>0 x₂−x₁=x²₂−x²₁=(x₂−x₁)²=x²₂−2x₂x₁+x²₁

MatiZ: Zauważyłem, że podstawiając dwie dowolne liczby za x₁ i x₂ wynik wychodzi większy od zera. Nawet jeśli te dwie liczby odwrócę miejscami. Czy dobrze obliczyłem?

PW: Niech (1) x₂ > x₁ ≥ 0. Wówczas f(x₂) − f(x₁) = x₂² − x₁² = (x₂−x₁)(x₂+x₁) > 0, gdyż oba czynniki są dodatnie, co wynika z założenia (1). Wynika stąd, że (2) f(x₂) > f(x₁) Pokazaliśmy, że z założenia (1) wynika nierówność (2), co oznacza że badana funkcja f jest rosnąca na przedziale [0, ∞).