W pęku n podobnych kluczy jest tylko jeden klucz otwierający zamek. Niech pk oz 01234: W pęku n podobnych kluczy jest tylko jeden klucz otwierający zamek. Niech pk oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia losowego Ak, polegającego na tym, że otworzyliśmy zamek za k−tym razem. Udowodnić, że P(Ak)=1/n, zatem nie zależy od k.

PW: Mamy zbiór {k₁,k₂,...k_n−1, k}. Ze zbioru tego losujemy elementy w dowolny sposób, ustawiając je w ciąg, przy czym ostatnim elementem ciągu jest k. Zdarzeniami elementarnymi są więc ciągi postaci A₁ = (k) A₂ = (k_j, k) A₃ = (k_i, k_j, k) .......... A_n = (k_i1, k_i2,..., k_in−1, k), Niestety nie wiemy, czy ciągi te nie są jednakowo prawdopodobne − jest to problem postawiony w zadaniu. Nie możemy więc zastosować tzw. klasycznej definicji prawdopodobieństwa (zadanie byłoby trywialne). Należy zastanowić się, jakie liczby przypisać do poszczególnych zdarzeń jako ich prawdopodobieństwa, biorąc pod uwagę prawdopodobieństwa losowań "nieudanych". Niech Z_p oznacza darzenie − "pierwszych p kluczy nie otworzyło zamka" Z_p = A_p+1∪A_p+2∪...∪A_n. Zgodnie z naszą wiedzą powinniśmy przyjąć, że prawdopodobieństwo P(z_p) określone jest wzorem

	(n−1)!   (n−1−p)!		n−p		p
(1) P(Zp) =		=		= 1 −		.
	n!     (n−p)!		n		n

Przyjęliśmy to prawdopodobieństwo jako stosunek liczby p−elementowych wariacji o wartościach w zbiorze (k−1)−elementowym ("złych" kluczy) do liczby p−elementowych wariacji w zbiorze n−elementowym (wszystkich kluczy). Taka wartość jest naturalna − wynika z rozwiązania zadania o losowaniu p "złych" kluczy ze zbioru, w którym jest (n−1) "złych" i jeden "dobry" klucz. Zgodnie z zależnością (1)

	k		k−1		k		k−1		1
Ak = Zk − Zk+1 = 1 −		− (1 −		) = −		−		=		.
	n		n		n		n		n

PW: Poprawka w ostatnim wierszu:

	k		k+1		k+1		k		1
1 −		− (1 −		=		−		=		.
	n		n		n		n		n

PW: Jeszcze, żeby się nie myliło − ten dobry klucz na samym początku oznaczyć innym symbolem − nie "k", ale np. d. Nie powinno się dwóch różnych obiektów oznaczać tym samym symbolem .