PW: Maclaurina nie da rady, mamy do czynienia z funkcją, która w zerze nie ma pochodnych, nie można
jej więc rozwijać w otoczeniu zera.
Rozsądnie jest wziąć a = 1, bo dla funkcji
f(x) = x
1/3
znamy wartość f(a) = f(1) = 1 i wartości pochodnej w tym punkcie (a poza tym 1 jest blisko
0,997).
Zastosujmy wzór Taylora dla x = 0,997 i a = 1, biorąc tylko rozwinięcie dla n=2. Dlaczego tylko
dla n=2? − Bo od czegoś trzeba zacząć, jeżeli dokładność będzie zbyt mała, to będziemy liczyć
więcej wyrazów.
| | f'(a) | | f''(a) | | f'''(c) | |
(1) f(x) = f(a) + |
| (x−a) + |
| (x−a)2+ |
| (x−a)2. |
| | 1! | | 2! | | 2! | |
Weźmiemy więc tylko zerowy, pierwszy i drugi wyraz rozwinięcia i resztę (reszta zawiera
pochodną f''' liczoną w pewnym punkcie c leżącym między 0,997 a 1).
Do wzoru (1) potrzebne są:
| | 1 | | 1 | |
f'(x) = (x1/3)' = |
| x−2/3, dla a=1 mamy f'(a) = f'(1) = |
| |
| | 3 | | 3 | |
| | 2 | | 2 | |
f''(x) = − |
| x−5/3, dla a = 1 mamy f''(a) = − |
| |
| | 9 | | 9 | |
| | 10 | | 10 | |
f'''(x) = − |
| x−8/3, dla a = 1 mamy f'''(a) = − |
| |
| | 27 | | 27 | |
x−a = 0,997 − 1 = − 0,003.
Podstawiamy:
| | 1 | | 2 | |
f(0,997) = 3√1 + |
| (−0,003) + (− |
| )·0,000009 + |
| | 3 | | 9·2! | |
| | 10 | | 1 | |
(− |
| ) |
| c−8/3(−0,03)3 |
| | 27 | | 3! | |
| | 5 | |
3√0,997 = 0,999 − 0,001 − 0,000001+ |
| c−8/3(0,003)3. |
| | 81 | |
| | 5 | |
(2) 3√0,997 = 0,998999 + |
| c−8/3·0,1−9 |
| | 3 | |
Widzimy więc, że przybliżeniem
3√0,997 jest liczba 0,998999, a błąd tego przybliżenia jest
niewielki (potocznie mówiąc).
| 5 | | 5 | 1 | | 5 | 1 | | 5 | 1 | | 5 | |
| c−8/3 = |
|
| < |
|
| = |
|
| < |
| ·4 |
| 3 | | 3 | 3√c8 | | 3 | 3√c6 | | 3 | c2 | | 3 | |
| | 1 | |
(przy szacowaniu mianownik zastępujemy mniejszym, a więc ułamek rośnie, wiemy że c> |
| ), a |
| | 2 | |
więc
| | 5 | | 20 | |
|
| (0,001)3c−8/3 < (0,001)3· |
| < (0,001)3·10 = 10−8 . |
| | 3 | | 3 | |
Równość (2) oznacza zatem, że
(3)
3√0,997 − 0,998999 < 10
−8.
Przybliżenie pokazane w (3) jest dokładniejsze niż żądane w zadaniu, możemy przyjąć odpowiedź
3√0,997 ≈ 0,999.
Sprawdzamy (dla upewnienia się, czy nie bredzimy) za pomocą kalkulatora Windows:
3√0,997 ≈ 0,998998998
− nieźle, widać że błedu nie popełniliśmy.