iug zombi: Zadanie z analizy: "Wiedząc, że f jest wypukła na (a,b) Udowodnij nierówność Jensena: f(∑a_ix_i) ≤ ∑a_if(x_i), gdzie x_i∊(a,b), a_i∊[0,1], ∑a_i = 1. Wskazówka. użyj prostą podpierającą w ∑a_ix_i" Nie za bardzo rozumiem wskazówki, czym jest prosta podpierająca?

zombi: podbijam

zombi: .

zombi: .

kyrtap: zombi nie umiem takich rzeczy

Godzio: A dowód indukcyjny nie przejdzie?

MQ: www.mimuw.edu.pl/~rybka/dydaktyka/ref6₁1.pdf definicja 2.3

MQ: Jeszcze jaśniej tu: matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/pmf/pmf27/pmf2711.pdf Twierdzenie 3 i Określenie bezpośrednio przed nim.

Gray: Może tak: skoro f wypukła w (a,b) to f(s)≥ f(t) + M(s−t), gdzie y(s)=f(t) + M(s−t) to właśnie dowolna prosta podpierająca f w punkcie t (nierówność wynika bezpośrednio z definicji funkcji wypukłej). Przyjmując s=x_i oraz t=∑a_ix_i (ważne: t,s∊(a,b)!) mamy: f(x_i)≥f( ∑a_ix_i)+ M(x_i − ∑a_ix_i) dla i=1,....,n Mnożąc przez a_i i dodając wszystko do siebie otrzymamy: ∑a_if(x_i)≥∑a_if( ∑a_ix_i) + M ∑a_i(x_i −∑a_ix_i), ale ∑a_if( ∑a_ix_i) = f( ∑a_ix_i) oraz ∑a_i(x_i −∑a_ix_i) = ∑a_ix_i − ∑a_i(∑a_ix_i)) = ∑a_ix_i − ∑a_ix_i=0 zatem ostatecznie: ∑a_if(x_i)≥f( ∑a_ix_i) Koniec.