Zastosowanie pochodnych Dawid: Zbiornik w kształcie odwróconego stożka o wysokości L i promieniu podstawy R. Zależność

	t(2R−t)
promienia tafli wody od czasu jest opisana wzorem r(t)=		.
	R

a) Po jakim czasie zbiornik się napełni? b) Znaleźć zależność objętości wody od czasu V_W(t) . c) Znaleźć prędkość v(t) i przyspieszenie a(t) napływu wody do zbiornika. Nie wiem jak tknąć te zadanie by rozwiązać je poprawnie

Dawid: Mam je zrobione. Jak przepisze na czysto na kartce to przepisze je tu.

Dawid: a) Zbiornik będzie pełen gdy r(t) = R czyli

t(2R − t)
	= R |*R
R

t(2R − t) = R² 2Rt − t² = R² −t² + 2Rt − R² = 0 Δ = 0

	−2R
x0 =		= R
	−2

Zatem t = R b)

	πR2L
Objętość stożka w zadaniu to: V =
	3

Ponieważ promień tafli rośni w zadaniu proporcjonalnie do jej wysokości to możemy stwierdzić, że

	t(2L − t)
l(t) =
	L

Szukamy zależności V(t) zatem wstawiamy r(t) i l(t) do wzoru na objętość stożka

	t(2R − t)   t(2L − t)   π( )2 *   R   L
V(t) =
	3

	πt2(4R2 − 4Rt − t2) * t(2L − t)
V(t) =
	3R2L

	πt3(4R2 − 4Rt − t2)(2L − t)
V(t) =
	3R2L

	πt3(t3 + (4R − 2L)t2 − (4R2 + 8LR)t + 8LR2)
V(t) =
	3R2L

c) Teraz robi się ciekawie

	dV
Mamy wyliczyć v(t) i a(t). Wiemy, że v(t) to 1 pochodna objętości po czasie (		)
	dt

	d2V
natomiast a(t) to 2 pochodna objętości po czasie lub pochodna prędkości po czasie (
	dt

	dv
lub		). No to jedziemy:
	dt

Najpierw wymnażam sobie V(t) aby łatwiej było liczyć pochodne

	πt6 + πt5(4R − 2L) − πt4(4R2 + 8LR) + 8LR2πt3
V(t) =
	3R2L

	u		u'v − uv'
Korzystam ze wzoru na pochodną ilorazu: (		)' =
	v		v2

	u		u'v
Ponieważ pochodna mianownika to 0 zatem wzór się upraszcza do postaci: (		)' =
	v		v2

	dV		3R2L(6πt5 + 5π(4R − 2L)t4 − 4π(4R2 + 8LR2)t3 + 24LR2πt2)
v(t) =		=
	dt		9R4L2

	18πR2Lt5 + 15πR2L(4R − 2L)t4 − 12πR2L(4R2 + 8LR)t3 + 72πR4L2t2
v(t) =
	9R4L2

	dv
a(t) =		=
	dt

9R4L2(90πR2Lt4 + 60πR2L(4R − 2L)t3 − 36πR2L(4R2 + 8LR)t2 + 144πR4L2t)
81R8L4

a(t) =

810πR6L3t4 + 540πR6L3(4R − 2L)t3 − 324πR6L3(4R2 + 8LR)t2 + 1296πR8L4t
81R8L4