dowód jeszcze raz Kinia: Jeszcze jedno zadanie, ciąg (a_n) okreslony jest rekurencyjnie: a₁ = 1 , a₍n+1) = √a_n² + 1 Zaczęłam od tego ,że badam a₍n+1) − a_n ale nie wychodzi

Gray: a₁=1 a_n+1=√a_n²+1

	√an2+1 + an
an+1−an = √an2+1 − an =(√an2+1 − an)		=
	√an2+1 + an

	1
=		≥0, bo an≥0 (to widać z definicji ciągu an). Ciąg jest więc
	√an2+1 + an

niemalejący i aby był zbieżny, wystarczy więc, aby był ograniczony od góry.

Gray: Ograniczyć z góry się go raczej nie uda. Spróbujemy pokazać, że a_n+1 = √n+1. Dowód oczywiście indukcyjny. a₁=1=√1 − OK Zakładamy, że a_n=√n. Wówczas a_n+1=√a_n²+1 = założenie ind. = √n+1 Koniec. Czyli a_n→+∞.

Kinia: Mhm, rozumiem i dziękuję bardzo za poświęcony czas

Kinia: A nie można pokazać, że mianownik jest po prostu napewno wiekszy od zera czyli całe wyrażenie także, co oznacza, że ciąg jest rosnący?

Gray: W kwestii zbieżności: czy ciąg jest rosnący, czy niemalejący nie ma żadnego znaczenia. Oczywiście wykazałem, że ciąg jest rosnący, ale z przyzwyczajenia napisałem, że jest niemalejący − to jest bezpieczniejsze stwierdzenie.

Kinia: ? Bo nie rozumiem tej indukcyjnosci

Kinia: Przepraszam, bo ja na początku nie napisalam, trzeba bylo udowodnić, że ciag jest rosnący, czyli może być tak jak napisalam? (Liceum)

Gray: Tak. Jeżeli nie masz liczyć granicy to ogranicz się do wpisu z godz. 13:05.

Kinia: Okej, w takim razie wszystko rozumiem już i dziękuję bardzo miło mi, że ktoś zechciał mi pomóc: )