po Paulina: 1. Niech P = (x, y) będzie punktem przecięcia hiperboli x(y − 3) = −1 i paraboli y = x² Pokaż, że x jest pierwiastkiem równania x³−3x+1= 0. 2.. Obracając krzywą f(x, y) = 0 o kąt α otrzymamy krzywą f(x cos α + y sin α, −x sin α + y cos α) = 0. Znajdź równanie kanoniczne hiperboli, która po odpowiednim obrocie będzie opisywana równaniem xy = 1.

Paulina: ?

Paulina: ?

Kacper: 2) obrót o 45 stopni

Kacper: 1) y=x² x(y−3)=−1 Rozwiązuje układ równań x*(x²−3)+1=0 x³−3x+1=0 czyli x jest rozwiązaniem równania x³−3x+1=0

Paulina: Dzięki a mógłbyś jeszcze drugie rozpisać ?

Kacper: Może taka hiperbola?

x2		y2
	−		=1
(√2)2		(√2)2

Teraz obracamy ją... o 45 stopni?

	x2		y2
f(x,y)=		−		−1
	(√2)2		(√2)2

	√2
cos45=
	2

	√2
sin45=
	2

Dostajemy:

	√2   √2   (x* +y* )2   2   2
f(xcosα+ysinα,−xsinα+ycosα)=		−
	2

√2   √2   (−x* +y* )2   2   2
	−1
2

I po mozolnych przekształceniach dostajemy f(x,y)=xy−1, czyli to co chcieliśmy

Gray: Ja podszedł bym do tego tak: skoro Twoja funkcja po obrocie ma wyglądać tak xy=1, to należy wyznaczyć takie α, a z tej postaci w wyniku obrotu o kąt −α otrzymać postać kanoniczną. Mamy więc: f(x,y)=xy−1. I obracamy to o kąt −α, tj. f(x cos α − y sin α, x sin α + y cos α) = (x cos α − y sin α)(x sin α + y cos α) = x² cosa sina + xy (cos²a − sin²a) − y² sinacos −1 =

	1		1
=		sin2a x2 + xycos2a −		sin2a y2 −1.
	2		2

Teraz dobierasz takie a, aby była to postać kanoniczna. Widać, że a = π/4 jest OK − wtedy zeruje się współczynnik przy xy.

Gray: "... wyznaczyć takie α, aby z tej ..."

Kacper: Podejście Gray'a lepsze, bo ja od początku wiedziałem o jaki kąt należy obrócić, a on pokazał jak wykombinować ten kąt