Planimetria Blue: Zadanka z planimetrii: zad.1 W czworokącie ABCD kąt ADC ma miarę 30⁰ oraz |AB|=3, |BC|=4, |AC|=6. Uzasadnij, że na tym czworokącie nie można opisać okręgu. zad.2 Udowodnij, że suma odległości dowolnego punktu leżącego na podstawie trójkąta równoramiennego do jego ramion nie zależy od wyboru tego punktu. − zdanie trochę niepoprawne gramatycznie, ale tak jest w książce. zad.3 W trójkącie o bokach długości a, b, c środkowe poprowadzone do boków a i b są do siebie prostopadłe. Udowodnij, że a²+b²=5c² zad.4 Na zewnątrz kwadratu na jednym z jego boków skonstruowano trójkąt prostokątny. Przeciwprostokątna tego trójkąta pokrywa się z bokiem kwadratu. Udowodnij, że dwusieczna kąta prostego tego trójkąta dzieli pole kwadratu na połowy. zad.5 W trójkąt prostokątny wpisano prostokąt (patrz rysunek). Uzasadnij, że pole prostokąta

	1
nie może być większe od		S.
	2

zad.6 Dwa okręgi przecinają się w punktach A i B. Uzasadnij, że jeśli AM i AN są średnicami tych okręgów, to punkty M,B,N leżą na jednej prostej. Rozwiązałam zadanie 1, 3,4,5 − ale zadanie 5 na pewno jest źle Oto skany: http://i57.tinypic.com/9hhqbc.jpg http://i58.tinypic.com/vy5tu8.jpg http://i58.tinypic.com/n3kl7s.jpg http://i57.tinypic.com/rwjj48.jpg Rysunek do zad.6 i 5 : http://i59.tinypic.com/2j2wc1v.jpg Bardzo proszę o ocenę, czy takie dowody mogą być i o wyjaśnienie zadań, których nie umiałam zrobić

Mila: 1) Warunkiem koniecznym, aby na tym czworokącie można było opisać okrąg jest, aby ∡ABC=180^o−30^o=150⁰

	√3
cos(150o)=cos(180o−300)=−cos 30o=−
	2

Z tw. cosinusów w ΔABC:

	√3
cos∡ABC= ...≠−		⇔Na czworokącie ABCD nie można opisać okręgu.
	2

Mila: 2) Podpowiedź będzie .

	1
PΔABC=		*a*h
	2

	1		1
PΔABC=		*b*x+		*b*y
	2		2

dokończ

Blue: czyli a*h=x+y.... i z tego wynika, że nie zależy to od tego punktu, bo zawsze suma wynosi a*h

Blue: a 3 i 4 jest udowodnione?

Mila:

	a*h
x+y=
	b

Mila: 3) Może być, ale pisz założenie , teza, w jakim Δ stosujesz tw. Pit.

Mila: 4) coś tam trzeba dodać. 6) Masz tam dwa kąty wpisane oparte na średnicy.

Blue:

	a*h
sorki, oczywiście, że x+y =		, ale takie coś wystarczy?
	b

Mila: Tak.

Blue: Dziękuję Milu A co z zadaniami 4,5,6? Co byś tam jeszcze dopisała w tym 4? Ale w tym 6 przecież ten trójkąt nie jest równoramienny, prawda?

Tadeusz: oba kąty czyli ∡ABM jak i ∡ABN są proste jako oparte na średnicy okręgu ... a skoro mają wspólne ramię AB ...

Blue: Nie wiem, jak to wykazać, niby to jest oczywiste, że leżą na wspólnej prostej, ale co ja mam tutaj napisać 90⁰+90⁰=180⁰ czyli punkty leżą na jednej prostej?

Kacper:

Tadeusz: ... tak proste, że aż trudne ?

Kacper: Zazwyczaj

Blue: Czyli w końcu jak ma wyglądać ten dowód

Tadeusz: jeśli dwa kąty proste mają wspólne ramię ...

Blue: to tworzą prostą?

J: ..popatrz na to tak, jesli np. dwa kąty po 30^o mają wspólne ramię, to pozostałe ramiona tworzą kąt 60^o ..jeśli mają zatem mają po 90^o , to pozostałe tworzą kąt 180^o ( leżą w jwdnej prostej)

Blue: dzięki J

Mila: Blue, kąty przyległe, kąty wierzchołkowe, środkowe, wpisane w okrąg. ⇔powtórka z SP i GM.

Blue: No to pozostało nam tylko 5 zadanko

Blue: No i co mam dopisać jeszcze w tym 4?

Kacper: Zadanie 5 zrobiłaś "na oko" Trzeba to uzasadnić przy użyciu narzędzi matematycznych

Kacper: W zadaniu 4 uzasadnić należy twoje stwierdzenie "suma krótszej podstawy jednego trapezu z dłuższą podstawą musi być taka sama..." Nic blue nie musi Tak jest, ale dlaczego?

Blue: no właśnie wiem, ale wolałam coś napisać, niż nic ...czyli jak zrobić to 5 w 4 musi bo to jest bok kwadratu

Kacper: Dzieli na pół?

Kacper: Zadanie 5 skojarz z zadaniami optymalizacyjnymi i pokaż, że maksymalne pole prostokąta wynosi połowę pola trójkąta

Blue: no nie dzieli .. czyli o coś innego chodzi..

Blue: eh.... chyba nic tutaj nie wymyślę. Czekam na rozwiązanie.

Kacper: Daj sobie dzisiaj spokój i wrócisz jutro

Mila:

	1
S=		a*b
	2

P_AKLM=x*y ΔCML∼ΔCAB⇔

CM		b
	=
x		a

b−y		b
	=		⇔
x		a

	b
y=		*(a−x)
	a

	b		b
PAKLM(x)=x*		*(a−x)=		*(ax−x2)
	a		a

	a		a
xw=		dla x=		pole prostokąta jest największe
	2		2

a

b

a2

a2

ab

1

P(

)=

*(

−

)=

=

S⇔

2

a

2

4

4

2

	1
PAKLM≤		S
	2

Blue: Dziękuję Mila

Blue: Liczę jeszcze na pełne wyjaśnienie 4

Blue: Mógłby ktoś rozwiązać to 4 ? Proszę

Mila: Skorzystaj z własności dwusiecznej. α=45^o

Blue:

b		a
	=		i co dalej?
e		f

Blue: Mila, co ja mam tutaj zrobić?

Blue: :(

Blue: Pokaże ktoś pełny dowód tego 4 ?

Kacper: 2 dni i nie wymyśliłaś ?

===: ... a teraz widzisz? −

===: ... nie ładnie. "Popłaczesz" ... "popłaczesz" i pójdziesz. Zawsze chcesz trzymać trzy sroki ? −

===: ... to jeszcze przedłuż tą zieloną przerywaną i wszystko będzie jasne −

Blue: ja nie płaczę

Blue: Tam powstaną dwa trójkąty przystające... i co z tego?

===: ... sedno programu polega na tym, że masz zauważyć ... udowodnić i wykorzystać fakt, że ta dwusieczna przechodzi przez środek kwadratu.

Blue: aaaa

Blue: ale w sumie, to jak ja mam udowodnić, że ona przechodzi przez ten środek...

===: ... twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym −

===: ... troszkę "wpuściła" Cię Mila z tym wykorzystaniem dwusiecznej −

Blue: Czy masz na myśli to, że ten kąt trójkąta wewnątrz kwadratu jest podzielony na dwa kąty równe kątom ostrym trójkąta umieszczonego na boku, bo są oparte na tym samym łuku?

===: nie Masz wykazać, że dwusieczna przechodzi przez środek kwadratu

Blue: ale problem polega na tym, że nie wiem, jak to zrobić....

Blue: === zlitowałbyś się i napisał rozwiązanie

===:

===: ... to tak proste, że aż trudne ∡AD0 jest kątem prostym (środkowy oparty na łuku A0) Jeśli ∡ACH ma 45^o i jest kątem wpisanym opartym jednym ramieniem w punkcie A to musi być oparty na łuku A0

===: na przedłużeniu zielonej zaznacz punkt E (który "zjadłem") ΔDG0 i ΔEH0 są przystające ... jasne więc, że dwusieczna dzieli kwadrat na połowy

Tadeusz: ... to TY nie wiesz jak mam na imię tylko przezywasz mnie od === −

Blue: hm....

Kacper: Nie bardzo rozumiem Tadeusz?

Blue: sorki nie załadowały mi się jeszcze komentarze, jak pisałam ostatni komentarz Czyli wystarczy, że zrobię ten rysunek i napiszę Twój komentarz i to będzie już dowód

Blue: Skąd miałam wiedzieć, że to Ty, Tadeuszu? Nie jestem jasnowidzem

Tadeusz: ... skoro pytasz czy wystarczy ... to chyba nie do końca rozumiesz Powiedz czego nie rozumiesz?

Blue: niby rozumiem, jakoś nie jestem pewna czy to wykazaliśmy

Tadeusz: czy DE dzieli kwadrat na połowy ?

Blue: tak

Tadeusz: czy CH może przeciąć DE w innym punkcie niżeli 0?

Blue: no nie bo kąt przy wierzchołku C wynosi 90 stopni

Blue: sorry 45 stopni chciałam napisać, tzn kąt ACH

Tadeusz:

Blue: no czyli wszystko już jasne?

Tadeusz: ... mnie pytasz? Skoro CH przecina DE w punkcie 0 ....czyli w połowie to ΔDGO i ΔEHO są przystające (w innym przypadku byłyby tylko podobne) ...a skoro przystające to wszystko jasne (powstałe trapezy są przystające)

Blue: ok, dziękuję

Tadeusz: ..."zaskoczyłam" ? −

Kinga: Hej Blue. Chciałam cię tylko zapytać z jakiej książki są te zadania?Fajnie, jeśli mogłabyś mi napisać jej tytuł i autora. Będę wdzięczna .

Alle18: Testy maturalne wydawnictwo Aksjomat Autorzy: Dorota Maslowska, Tomasz Maslowski, Piotr Nodzynski, Elzbieta Slominska, Alicja Strzelczyk.