Proszę o pomoc! mario: Wykaż, że jeśli n € ℕ, to liczba 7ⁿ⁺² − 2ⁿ⁺² + 7ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ jest podzielna przez 10

mario: Założenie: n należy do N Teza 7ⁿ⁺² − 2ⁿ⁺² + 7ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹= 10k Dowód 7ⁿ⁺² − 2ⁿ⁺² + 7ⁿ⁺¹ − 2ⁿ⁺¹ 7ⁿ * 7⁷ − 2ⁿ * 2² + 7ⁿ * 7¹ − 2ⁿ * 2¹ 7ⁿ * 56 − 2ⁿ * 6 I tu się kończy moja wiedza

pigor: ..., to dalej może indukcyjnie np. tak: dla n=1 : 7*56−2*6= 392−12= 380 = 10*38 Z. niech dla n : 7ⁿ* 56−2ⁿ* 6 =10k ... T. wykazać dla n+1: 7ⁿ⁺¹* 56−2ⁿ⁺¹* 6 = 10s. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Dowód : 7ⁿ⁺¹* 56−2ⁿ⁺¹* 6 = 7ⁿ* 7*56−2ⁿ*2* 6 = = 7ⁿ* 2*56 −2ⁿ*2*6 + 7ⁿ*5*56 = 2(7ⁿ*56 −2ⁿ*6) + 7ⁿ*5*2*28 = = 2*10k+10*7ⁿ*28= 10(2k+28*7ⁿ)= 10s teraz jeszcze twój komentarz i już... c.n.w.

mario: dzięki za ogarniecie

Eta: Bez indukcji 49*7ⁿ+7*7ⁿ= 50*7ⁿ+6*7ⁿ=10*5*7ⁿ+6*7ⁿ i −4*2ⁿ−2*2ⁿ= −6*2ⁿ L= 10*5*7ⁿ +6(7ⁿ−2ⁿ)= 10*5*7ⁿ+6(7−2)(7ⁿ⁻¹+7ⁿ⁻²*2+.....+2ⁿ⁻¹)= = 10[5*7ⁿ+3(7ⁿ⁻¹+7ⁿ⁻²*2+...... +2ⁿ⁻¹)] = 10*k , k∊C Korzystałam ze wzoru: aⁿ−bⁿ=(a−b)(aⁿ⁻¹+aⁿ⁻²*b+aⁿ⁻³*b²+.....+bⁿ⁻¹)

pigor: .., też próbowałem, ale jakoś tej 10−tki nie mogłem "wyłowić"

Kacper:

Eta: