Zmienne losowe Asdf:

	1
Jeden z boków prostokąta ma rozkład fx(x)={		dla 0<x<3
	3

{0 dla P.P. Jaki powinien mieć rozkład drugi z boków, jeżeli wiadomo, że zmiana długości boków tego prostokąta nie powoduje zmiany jego pola które jest równe 1. Podać funkcje gęstośći drugiego boku x− 1 bok y− 2 bok

	1
xy=1 ⇒y=
	x

Czyli

	1
Fy(t)=P(y≤t)=P(		≤t) i co mam dalej tu uprzątnąć
	x

Asdf:

Asdf:

Gray:

	1
Fy(t) = P(Y≤t) = P(		≤t) → dla t≤0 to daje zero.
	X

Dla t>0:

	1		1		1
... = P(		≤X) = 1− P(X<		) = 1− FX(		), a FX znasz bo to całka z gęstości.
	t		t		t

Asdf:

	1
Gray a nie powinno być 1−P(X>		) ?
	t

Gray: Nie. Popatrz uważnie: odejmujemy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

Asdf:

	1
A może dalej opisać to przejście 1−Fx(		) ?
	t

Bo w sumie nie wiem za bardzo co się dzieje:

	1
to ma być 1−		x ?
	3

Asdf: Bo jak bym to normalnie robił to: dla t>0 min{t,3}

	1		1		1		t
∫		=		t =		min{t,3} = min{		,1)
	3		3		3		3

0

Asdf:

Asdf:

Gray:

	1
1−FX(		) = 1− ∫A(t)fX(x)dx, gdzie A(t)=(0,1/t) no i teraz przypadki:
	t

a) dla 1/t<3 czyli dla t>3 f_x(x)= 1/3; b) dla t∊(0,3) f_x(x)=0 Można to więc zapisać tak: dla t>3: 1− ∫_A(t)f_X(x)dx = 1− ∫_(0,3)f_X(x)dx − ∫_(3,1/t)f_X(x)dx=

	1		1		1		1
=1 − ∫(3,1/t)		dx = 1−		(		−3) = 2−		.
	3		3		t		3t

Podsumowując: F_Y(t) = 0, dla t<3; F_Y(t) = 2− 1/3t dla t≥3

Gray: Pomieszałem trochę te przedziały, ale mam nadzieję, że wyciągniesz z tego to czego potrzebujesz. Ewentualnie możesz sobie wyznaczyć dystrybuantę X − chyba łatwiej. F_X(t) = P(X≤t) = ∫_(−∞,t)f_X(x)dx=... a) dla t<0 → f_X(x)=0 → F_X(t) =0

	1
b) dla t∊[0,3] →FX(t) = ∫(0,t)1/3dx =		t
	3

c) dla t>3 →F_X(t) = ∫_(0,3)1/3dx = 1 No i teraz podstawiasz F_Y(t) = 1− F_X(1/t)=...

asdf:

	1
Gray,a jeszcze te x to specjalnie wyczysciles by bylo P(X<		) tzn.,zeby zostal sam x na
	t

lewej stronie ?

Gray: Tat, bo wtedy właśnie możemy wykorzystać dystrybuantę zmiennej losowej X.