Granice Funkcji ;) Hajtowy: Granice funkcji − zadania studenckie xd Będzie miał ktoś jutro chęci i czas by poświęcić go na przerobienie ze mną kilkunastu zadań z granicy funkcji do kolokwium?

olala:

Kacper:

Mila: Pisz zadania.

Hajtowy: Nie miałem tego w liceum tylko przez 1h na ćwiczeniach bez wykładu z tego tematu także mogą być lekkie problemy dlatego prosiłbym o wyjaśnienia i wyrozumiałość Obliczyć granicę w punkcie:

	1
a) limx→1 (x3+2x−		)
	2

"Uczono" mnie,że podstawiamy za 'x' to do czego dąży 'x' czyli w tym przypadku 1.

	1		1		5
limx→1 (x3+2x−		) = 1+2−		=
	2		2		2

I to tyle czy coś więcej?

Kacper: Wszystkie wielomiany, to funkcje ciągłe, zatem granica w punkcie, to po prostu wartość dla danego argumentu

Hajtowy:

	7
No ale w odpowiedzi mam: −
	2

Kacper: To zapewne granica była w −1, a nie 1

Hajtowy: A no −1

Hajtowy:

	(x+2)2		0
b) limx→−2		=
	x2−4		0

olala: A teraz

(x+2)(x+2)
	=...............
(x+2)(x−2)

Hajtowy:

	(x+2)2		x+2		0
= limx→−2		=limx→−2		=		= 0 ?
	(x−2)(x+2)		x−2		−4

Kacper:

olala: ok

Hajtowy:

	x2+5x−6		0
c) limx→1		=[		] =
	x2+4x−5		0

	(x−1)(x+6)		x+6		7
= limx→1		=		=		?
	(x−1)(x+5)		x+6		6

olala: ok ( tylko popraw chochlika)

Hajtowy: x+5 w mianowniku

Hajtowy:

	2x2−10x+12		0
d) limx→3		= [		] =
	x3−2x2−3x		0

	2(x−3)(x−2)		2(x−2)		2		1
= limx→3		=		=		=
	x(x−3)(x+1)		x(x+1)		12		6

Dobrze?

Kacper:

olala: Zdolny studencik

Hajtowy: zaczynają się schody

	x−3		0
h) limx→3		= [		] =
	√x−√3		0

	x−3		√x+√3		problem
limx→3		*		=		= KŁOPOT
	√x−√3		√x+√3		x−3

a ten problem = √x²+√3x−3√x−3√3 ? Czy coś innego ? Co by nie było dalej i tak jest KŁOPOT

Kacper:

	a2−b2
Skorzystaj z wzoru a+b=
	a−b

olala: x−3=(√x−√3)(√x+√3)

Hajtowy: olala no wiem, tylko że mi coś wyjść nie chce

	√x2+√3x−3√x−3√3
Bo mam		=... a gdy teraz podstawię za 'x' trójkę to coś mi wynik
	x−3

się nie zgadza

olala:

Hajtowy: Haha nie zauważyłem tego

olala:

Kacper:

olala:

Hajtowy: Wtedy mi zostanie?

√x+√3*√x+√3
	= √3+√3=2√3 ?
√x+√3

olala: Znowu masz chochlika

Hajtowy: gdzie? wynik mam dobry xd

olala: A no ano , jest ok

Hajtowy:

	x+√x		0
i) limx→0+		= [		]
	x−√x		0

To jest granica jednostronna w punkcie? Bo nie wiem co dalej

Marcin:

x+√x		1   1+   √x
	⇔		, może to jakoś pomoże
x−√x		1   1−   √x

Hajtowy: Przypomina mi się liczba 'e' zaraz pokombinuje

Mila:

(x+√x)*(x+√x)		x2+2x√x+x
	=		= dokończ
x2−x		x*(x−1)

Hajtowy: ooo to tak też można?

Lukas: olala gdzie Eta ?

olala: a już miałam to samo pisać ( Mila

olala: Olalalala

Hajtowy: Mila odpowiadam

	x(x+2√x+1		2√0+1		1
=		=		=		=−1 ?
	x(x−1)		x−1		−1

Hajtowy:

	√x2+1−1		0
j) limx→0		= [		]
	√x2+4−2		0

Mila jakiś sposób podobny i krótki na ten wzór? Bo tutaj chyba trzeba do 3 potęgi zastosować

olala:

(√2+1−1)(√x2+1+1)		(√x2+4+2)
	*		=....
(√x2+4−2)(√x2+4+2)		(√x2+1+1)

Mila: Nie ma specjalnych dróg dla Hajtowych, trzeba się pomęczyć .

√x2+1−1		√x2+1+1		√x2+4+2
	*		*
√x2+4−2		√x2+1+1		√x2+4+2

Hajtowy:

	√x2+4+2
= 1*		= 2 ?
	√x2+1+1

Saizou : tak, jeśli się nie pomyliłem licząc

Hajtowy: olala nie pytam skąd to wzięłaś/wziąłeś Magiczne ale jakże fajne i prawdziwe

olala: Ok ...... g=2

Hajtowy:

	√x−1−(x−1)		0
k) limx→2		= [		]
	x−2		0

Pytanie jak to ruszyć, bo nie widzę na razie tutaj rozwiązania ten pierwiastek mi przeszkadza xd

Saizou : korzystasz ze wzorku (a−b)(a+b)=a²−b²

	(√x2+1−1)(√x2+1+1)		x2
licznik: √x2+1−1=		=
	√x2+1+1		√x2+1+1

analogicznie mianownik

Hajtowy: hmm... Saizou nie zbyt ogarniam coś Ty zrobił

olala: Pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie licznika, czyli przez (√x−1+(x−1)] zobaczysz ,że w liczniku otrzymasz czynnik ( x−2)(......)

Saizou :

	a2−b2
a−b=
	a+b

a=√x²+1 b=1

Hajtowy:

−(x−2)(x−1)		1
	=−
√x−1(x−2)+x−1		2

olala:

Saizou : olala co tam słychać? nie brakuje jabłuszek Eta ? ale nie róbmy Hajtowemu spamu tu

Hajtowy: 11 przykładów z tego zadania + inne JUTRO Niestety jutrzejszy wf na 7:00 zmusza mnie do GŁĘBOKIEGO aby się wyspać Dziękuję wszystkim za pomoc dzisiejszą Jutro się odezwę!

Saizou : To miłego i śpij dobrze, przed w−f trzeba być wypoczętym, powiedział student, który zajęcia z wychowania fizycznego ma w drugim semestrze

Hajtowy: Witam witam Nowy dzień, nowe wyzwania

	√1−2x−x2−(1+x)		0
l) limx→0		= [		] =
	2x		0

	√1−2x−x2−(1+x)		√1−2x−x2+(1+x)
limx→0		*		=
	2x		√1−2x−x2+(1+x)

No i tutaj jest mały problem... czy to ma wyglądać tak, że:

	a2−b2
=
	2x(√1−2x−x2+(1+x))

Z czym, że a=√1−2x−x² ; a² = 1−2x−x² b=−1−x ; b² = 1−x² ?

Gray: b²=(1+x)²; reszta OK

Hajtowy: 1−2x−x² − (x²+2x+1)

−2x2−4x−2		−2
	=		=−1?
2x(√1−2x−x2+(1+x))		2

Saizou : coś nie tak z tym mianownikiem jest policz jeszcze raz 1−1

Hajtowy:

	−2
Mówisz, że będzie		= −2 ?
	1

Hajtowy: Nie no kurde Nawet 0 wychodzi z tego xd

Saizou : policz a nie zgaduj

√1−2x−x2−(1+x)		√1−2x−x2+(1+x)
	•		=
2x		√1−2x−x2+(1+x)

√1−2x−x22−(1+x)2		1−2x−x2−(1+2x+x2)
	=		=
2x[√1−2x−x2+(1+x)]		2x[√1−2x−x2+(x+1)]

1−2x−x2−1−2x−x2		−2x2−4x
	=		=
2x[√1−2x−x2+(x+1)]		2x[√1−2x−x2+(x+1)]

−2x(x+2)		−(x+2)		−2
	=		→		=−1 przy x→0
2x[√1−2x−x2+(x+1)]		√1−2x−x2+(x+1)		2

Hajtowy: A no fakt... źle sobie policzyłem <zalmka> takie głupie błędy... No ale lecim dalej!

	x+1
m) limx→1
	√x+5−(x+3)

No to sprzężeniem?

Hajtowy: lim_x→−1 ma być !

Saizou : pomyśl trochę

Saizou : no tak mnożenie przez sprzężenie, ale czego, licznika czy mianownika?

Hajtowy: Wyszło mi z tego 0 ...

	x+1		√x+5+(x+3)
limx→−1		*		=
	√x+5−(x+3)		√x+5+(x+3)

	x2+2x+1 − (x+5+x+3)
= limx→−1		...
	−x2−5x−4

Hajtowy: coś mi się to nie podoba za bardzo

Saizou : zauważ że −1 zeruje mianownik, zatem −1 jest pierwiastkiem wielomianu −x²−5x−4 a no i popraw licznik

Hajtowy:

licznik
−[(x+4)(x−1)]

Ale co w tym liczniku jest znów nie tak?

Saizou : a to co za herezja (x+1)(√x+5+(x+3)) ≠ x²+2x+1−(x+5+x+3)

Hajtowy:

	x2+√x+5x+4x+√x+5+3		8
... =		= −		?
	−[(x+4)(x−1)]		6

Saizou : ale po co to wymnażasz , skoro (x+1) się skróci, −x²−5x−4≠ −((x+4)(x−1)) tylko −(x²+5+4)=−(x+1)(x+4)

Saizou : ja mykam na razie, będę tak za 30 min

Hajtowy: Wyszło

Hajtowy:

	sin2x
n) limx→0		= ...
	3x

jakubs: zaraz pomoge

Hajtowy: spoko tak się zastanawiam co to wgl jest xd Wiem, że gdy

	sinx
limx→0		=1
	x

Tak nam podano xd

jakubs:

	sin2x * 2x
limx→0		=
	3x * 2x

	sin2x		2x
limx→0		*		=..?
	2x		3x

Hajtowy:

	2
czyli po prostu wyjdzie z tego		czy mi się wydaje?
	3

jakubs: No i korzystasz z tego, bo analogicznie zachodzi coś takiego:

	sin(nx)
limx→0		=1 dla n∊ℕ
	nx

jakubs: Tak

Hajtowy:

	sin2x
o) limx→0
	3x2

	sinx2		1
Mogę to zapisać jako: limx→0		=		?
	3x2		3

jakubs: tam jest (sinx)², czy sin(x²) ?

Hajtowy: sin²x

Hajtowy: tylko ja sobie później z tego zrobiłem sinx² xD

jakubs: Wynik OK

Hajtowy: Next

	x   sin2 sin33x   4
p) limx→0
	2x5

A z tym cudem co zrobimy ?

jakubs: Trzeba coś zrobić z mianownikiem

	sin2x4		sin33x		1		27
limx→0		*		*		=
	x216		27*x3		3227		32

Hajtowy: Jaka magia Ale wyszło pięknie

jakubs: Trzeba troszkę kombinować, ale spoko jak przyjdą pochodne to będzie łatwiej, bo są schematyczne

Hajtowy:

	sin2x		0
r) limx→0		= [		] = limx→0 ... ?
	√x+9−3		0

Sprzężenie? ale ten sin2x to wredne mi przeszkadza

jakubs:

	2*sin2x(√x+9+3)
limx→0		=12
	2x

bezendu:

Hajtowy: A mogę wiedzieć skąd w mianowniku wzięło się nagle 2x i 2 przed sin2x? bo dla mnie to ciężkie na poczatku

bezendu: x→0 sin2x

sin2x
	*2x dopisuję żeby nie zmienić
2x

jakubs: Ze sprzężenia otrzymasz bez tych dwójek, ja rozszerzyłem licznik i mianownik o tę dwójkę aby pozbyć się sinusa

Hajtowy: dobry pomysł Ty jednak jakubs myślisz dobrze No to lecim dalej!

	tg2x−sin2x
s) limx→0
	x3

Pomysłu żadnego nie mam... trygonometria się kłania ale leży

bezendu: Poczekaj na pochodne albo na całki wtedy nauczysz się trygonometrii

Hajtowy: pochodne będa po kolosie w czwartek

jakubs: Ja tutaj nie mam pomysłu, robiłbym tutaj z de l'Hospitala.

Hajtowy: Nie znam tego "KOLEGI" Robie dalej inne, jak bd miał problem to napiszę

Hajtowy: Oblicz granice funkcji w nieskończoności... Zaplątałem się w przykładzie N

	x+2
n) limx→−∞
	√x2+3x

Hajtowy: Podzielić przez x² ?

jakubs: Wyciągnij z pierwiastka x² i zobacz, czy na pewno podzielić przez x²

razor: pamiętaj że √x² = |x| a nie x

Hajtowy: Chyba mam jakieś chwilowe zaćmienie 13 przykładów z tego typu zadań i to mnie zatrzymało... no kurde no nie wiem!

razor:

	2   x(1+ )   x		2   x(1+ )   x
=		=		→ ...
	3   √x2*√1+   x		3   −x(√1+ )   x

Mila: o) z 12:50 tak zapisz:

	sin2x		sinx		1		1		1
lim x→0		=lim x→0(		)2*		=1*		=
	3x2		x		3		3		3

Hajtowy: czemu √x² =−x ?

Hajtowy: Mila dziękuję

razor: √x² = |x| = −x dla x < 0

Mila:

	tg(2x)−sin(2x)
s) lim x→0
	x3

Taka granica?

Hajtowy: Mila tak

Hajtowy:

	1
razor i teraz mogę podzielić przez 'x' i wyjdzie mi		=−1*(−1) = 1 ?
	−1

razor:

	1
czy		= 1?
	−1

Hajtowy: zad 3

	√x+4−√x−4		√x+4+√x−4
o) limx→∞ (√x+4−√x−4) = limx→∞		*		=
	1		√x+4+√x−4

	x+4−x+4
= limx→∞		= ?
	√x+4+√x−4

Dobrze wgl myślę?

Hajtowy: razor no ale granica jest −∞

razor: iksy się skracają i co zostaje?

Hajtowy:

8
	no i co z tymi pierwiastkami znowu zrobić? znów sprzężenie?
√x+4+√x−4

Hajtowy:

	8
czy po prostu		=0 ?
	∞

razor: moje pytanie było do poprzedniego przykładu ale tu jest dobrze

jakubs: Dokładnie tak jak w poście z 15:44

razor:

tg2x−sin2x		1   sin2x( −1)   cos2x		sin2x(1−cos2x)   cos2x
	=		=		=
x3		x3		x3

	sin2x(1−cos22x)   cos2x(1+cos2x)		sin32x		1
		=		*		=
	x3		x3		cos2x(1+cos2x)

	sin2x		8		8
(		3)		→ [1*		] = 4
	2x		cos2x(1+cos2x)		1*(1+1)

razor: zgadza się z odpowiedzią? bo nie chciało mi się sprawdzać

Hajtowy:

	1+2/x		1
A tam zostaje mi		=		= −1
	−1 * √1+3/x		−1

No ale skoro granica dąży do −∞ to znak na końcu się zmienia (tak nas uczono)

Mila: cd. (s)

	sin(2x)   −sin(2x) cos(2x)		1−cos(2x)   sin2x*   cos(2x)
limx→0		=limx→0		=
	x3		x3

	1−cos2x+sin2x   2sinx*cosx*   cos(2x)
=limx→0		=
	x3

	2sinx*2sin2x		sinx		4
=limx→0		= limx→0(		)3*		=4
	x3 cos(2x)		x		cos(2x)

Hajtowy: @15:46 zgadza się

razor: to masz rozwiązane na 2 sposoby

Mila: To ja uciekam stąd.

Hajtowy: Dziękuję Mila przykład Q q) lim_x→∞ ³√x³+2x²−³√x³−2 Wiem, że mogę to sprzężeniem zrobić, ale też jest wzór na a³−b³? Dobrze kojarzę?

razor:

	a3−b3
a−b =
	a2+ab+b2

Hajtowy: dokładnie to dzięki

jakubs: Ja na to nie wpadłem

Hajtowy: Ale i tak chyba zrobie to sprzężeniem, bo te wzory do ³ mi nie idą ostatnio wgl xd jakubs nie martw się

razor: jak to sprzężeniem?

Hajtowy: ale sprzężeniem nie idzie to pewno trzeba tym głupim wzorem co podałeś

Hajtowy: dobra ciul z tym przykładem, za głupi

	√x2+15−6
r) limx→∞
	x+3

A tutaj...?

jakubs: Wyciągnij x² z pierwiastka. q) to tylko wzór skróconego mnożenia, nie poddawaj się

Hajtowy:

x2√1+15/x2−6
x+3

O to chodziło jakubs?

Mila: r)

	√x2+15−6		√x2+15+6
lim x→∞		*		=
	x+3		√x2+15+6

	x2+15−36
=lim x→∞		=..... dokończ
	(x+3)*√x2+15+6)

Hajtowy:

	x2−21
=
	x√x2+15+ 3√x2+15+6x−18

jakubs:

	x√1+15/x−6		√1+15/x−6/x
limx→∞		=		=1
	x+3		1+3/x

Hajtowy: Czemu mi pomysł zabrałeś?

Hajtowy:

	3x3+2		3x3−1+3
u) limx→∞ (		)x3+2x = limx→∞ (		)x3+2x =
	3x3−1		3x3−1

	3		3x3 ....		−3(....)
=limx→∞ [ (1 −		)		]		=e....
	3x3−1		−3....		3x3−1

Tam gdzie są .... mam dylemat co tam wpisać

jakubs:

	3x3−1		−3
w potędze		*		* x3+2x
	−3		3x3−1

Hajtowy: Oblicz granicę jednostronną funkcji

	2
a) f(x) =		; x0=1
	x−1

	2		2
limx→1+		= [		]
	x−1		0

Co z tym zrobić?

jakubs: Jednostronne czyli:

	2
limx→1+ [		]= ∞
	0+

	2
limx→1− [		]= −∞
	0−

Hajtowy: A teraz pytanie... dlaczego przy jednym zerze jest + a przy drugim − ? Jak to rozpoznać?

jakubs:

	10000001
1+ wyobraź sobie jako np.		, coś delikatnie większego od 1.
	10000000

	2		10000000
np.		= 2 *
	10000001   10000000		10000001

	100000001
1− analogicznie np. −
	100000000

Lepiej aby Ci ktoś inny to wytłumaczył, abym Ci w głowie nie namieszał, ale ja to sobie tak interpretuję i mi jest z tym dobrze Oczywiście danych wartości nie podstawiamy, tylko chciałem Ci to jakoś pokazać.

jakubs: Kurde źle, jeszcze tam trzeba odjąć 1 czyli np.(dla zobrazowania)

	10000001		10000000		1
[1+−1] −>		−		=
	10000000		10000000		10000000

Hajtowy: Witam ponownie Obliczyć granice jednostronną funkcji

	x2−4
c) f(x)=		; x0 = 2
	x2−4x+4

	x2−4		0
limx→2+ =		= [		]
	x2−4x+4		0

	x2−4		0
limx→2− =		= [		]
	x2−4x+4		12

I teraz gdzie plus gdzie minus

52: Ok... Robię, ale niech sprawdzi to "fachowiec"

	(x−2)(x+2)		x+2
f(x)=		=
	(x−2)2		x−2

	x+2		4
limx→2+		=[		]= ?
	x−2		0+

	x+2		4
limx→2−		=[		]=...
	x−2		0−

Hajtowy: Na górze +∞, na dole −∞ ?

Hajtowy:

	|2x−1|		1
d) f(x) =		; x0=
	2x−1		2

	|2x−1|
limx→1/2 +		= ...
	2x−1

	|2x−1|
limx→1/2 +		= ...
	2x−1

a co z tym zrobić?

52: 11:55 tak...

	1
z lewej strony		moduł<0 zatem zmieniasz znaki ...
	2

	1
z prawej strony		moduł>0 zatem zostawiasz znaki ...
	2

Hajtowy: prawa strona wyszła mi 1 lewa strona zaś −1

52: ta

jakubs:

Hajtowy:

	sinx
e) f(x)=		; x0=0
	x2

	sinx		sinx		1		1
limx→0+		=		=		= [		] = +∞
	x2		x*x		x		0

	sinx		sinx		1		1
limx→0−		=		=		= [		] = −∞
	x2		x*x		x		0

Tak?

52: mhh.. tylko warto by dać

	1
[		]=+∞ i analogicznie do minus..
	0+

Hajtowy: A taki przykład...?

	1
g) f(x)=		; x0=0
	1+e1/x

1/x to potęga e

52: Nie wiem...

Hajtowy: No to mam jeszcze 3 przykłady...

	⎧	(x2−3) / (x−2) dla x > 2
f(x) =	⎨		; x0 = 2
	⎩	(x2−4) / (x−2) dla x < 2

lim_x→2 3^{(x−2) / (x2−4)} (3 do potęgi x−2 przez x²−4)

	sin16x
limx→0 4√		(pierwiastek 4 stopnia z całości)
	x

Hajtowy: Trzeci wydaje się być najłatwiejszy, tylko przeszkadza mi ta 16 w liczniku Nie wiem jak się tego pozbyć

52: zacznijmy od pierwszego

	x2−3
limx→2+		=+∞
	x−2

lim_x→2⁻x+2=4 Nie wiem czy dobrze to robię.. lim_x→2 3 ^{(x−2)/(x2−4)}=lim_x→23^1/(x+2)=3^1/4 Niech ktoś to sprawdzi na wszelki wypadek.. Nie wiem jak ostatnie zrobić.. chociaż ja bym kombinował aby licznik i mianownik pomnożyć przez ⁴√16x

Hajtowy: 2 przykład ⁴√3 ma wyjść i wyszło

52: No to super a co jest z pierwszym źle ?

Hajtowy: W pierwszym ma wyjść 4 i +∞ czyli jest git A jak trzecie zrobić?

52: Czekaj spróbuję pierw na kartce ...

52: Ok już mam

	sin16x		sin16x * 16x
limx→0 4√		=limx→0 4√		=
	x		x * 16x

	16x
limx→0 4√		=4√16=2
	x

Hajtowy: Dzięki

52: Spoko, akurat mam z tego kolokwium w środę więc ... korzyść dla nas obu

daras: @Hajtowy na wykłądzie być może była tylko 1h może będzie wiecej w przyszłym tygodniu albo na ćwiczeniach ale w bibliotece można spędzić ze 100 godzin czytając podreczniki i studiując przykładowe rozwiązania w zbiorach zadań, na tym polegały kiedyś studia, mam nadzieję, że metoda się nie zestarzała bo przynosiła dobre rezultaty. Polecam dzieła rosyjskie np. Liaszkę , a z polskich Krysickiego Włodarskiego czy śp. Plucińskiego z Gdowskim.

52: daras niestety ma rację wykład trwa 1,5h tyle ile zdąży przepisać wykładowca ze skryptu (czasem może wytłumaczy) tyle masz w zeszycie wszystkiego musisz się samemu uczyć czytając właśnie książki... A szkoda że tak mało czasu jest przeznaczone na wytłumaczenie danego zagadnienia na uczelni ...

52: Chociaż jak dla mnie to dobrze że istnieje to forum to i tak przy czytaniu książek mi dużo czasu nie zabiera... ale to tylko matematyka a gdzie inne przedmioty

Hajtowy: Na wykładzie były macierze już (ominęliśmy wgl granice ciągów i funkcji...) profesor stwierdził iż to było w szkole średniej i my to umiemy... a w czwartek mam kolosa na ćwiczeniach z granic funkcji dlatego tak szybkiej pomocy potrzebowałem... Wiem, że mogę spędzić w bibliotece mnóstwo godzin, ale jak ma się zajęcia 8−18 ; 8−16 ; 8−15:30 to się nie chce już później nic robić, uwierz mi Niestety program ćwiczeń jest inny a wykładów inny, przez to te problemy

Mariusz: Co do dzieł rosyjskich to zgoda dobre są ale czy nie przestarzałe Teraz jest moda na angielszczyznę Te rosyjskie dzieła które widziałem pochodziły jeszcze z czasów Союза

daras: i to był właśnie najlepiej poznany okres, od tamtej pory nie interesujemy się co za wschodnią granicą piszą(czyt. knują) a to źle, bo trzeba wiedziec co sąsiad zza miedzy knuje , dzis sąsiad a jutro wróg...moda na amerykanizmy nas jeszcze zgubi @Hajtowy czy Ty sam studiujesz?

daras: @13:13 wierzę, że już nic się nie chce robić tylko ja tez z tego co pamiętam grałem w karty ( na szczęście nie było w pokoju ogłupiającej TV ani ) i nie lubiłem siedzieć w czytelni(za cicho, teraz też nie lubię bo za głośno−ciągle dzwonią komórki) nie chodziłem na wszystkie nudne wykłady, na których niektórzy docenci przepisywali na tablicy te same książki, które mogłem wypożyczyć z biblioteki i to nawet z błędami choć miały errary z tyłu, na spalonej pozycji były wszystkie wykłady zaczynające się o 8:15 wolałem się za to wieczorami lubiłem i porozwiązywać r−nia różniczkowe, bo nie byłem tak zmęczony

Hajtowy: daras jest nas ponad 300 na I roku

daras: a ile jest grup