zadanie na dowod algebra amator: W zbiorze G = R − {0} określamy następujące działanie: r₁ * r₂ = −3 * r₁ * r₂ (kropka po prawej stronie oznacza zwykłe mnożenie, plus oznacza zwykłe dodawanie, a minus zwykłe odejmowanie liczb rzeczywistych). a) Udowodnić, że G tworzy grupę względem działania *

	4		5
b) W grupie G obliczyć (		−1 *
	7		3

Mógłby ktoś pomóc tam z prawej strony równania zamiast * powinny być kropki, ale oznaczają one mnożenie zgodnie z treścią.

Krzysztof: Piszesz o plusie po prawej stronie, a nie widać tam plusa. Czy dokładnie przepisałeś działania? Czy w b) jest (⁴₇)⁻¹*⁵₃ ?

amator: tak dobrze przepisałem w b) jest tak jak napisałeś. Pomoże ktoś ?

rafal: 1) Najpierw udowodnij, że działanie jest łączne, czyli a*(b*c)=(a*b)*b 2) Następnie znajdź element neutralny e=... Wystarczy go znaleźć, bo jeśli istnieje, to jest on jedyny. 3) Tak samo z elementem odwrotnym. Jeśli wyjdą Ci te 3 rzeczy, to znaczy, że R\{0} z działaniem * tworzy grupę

rafal: w pierwszej linijce na samym końcu ma być c, a nie b

amator: ja wiem jakie dowody trzeba przeprowadzić, tylko że ja tego nie umiem. Napiszę za 30−40min jak coś wyjdzie.

amator: a co przyjąć za a,b,c ?

rafal: r₁, r₂, r₃ Nie wiem, o jakim plusie jest wyżej mowa, więc przyjmuję, że działanie jest określone wzorem: r₁♦r₂=−3+r₁r₂. Oznaczę również działanie przez ♦ żeby było bardziej przejrzyście. P=(r₁♦r₂)♦r₃=(−3+r₁r₂)♦r₃=−3+(−3+r₁r₂)r₃=−3−3r₃+r₁r₂r₃ L=r₁♦(r₂♦r₃)=r₁♦(−3+r₂r₃)=−3+r₁(−3+r₂r₃)=−3−3r₁+r₁r₂r₃ P≠L na przykład dla r₁=1, r₂=1, r₃=3 więc działanie nie jest łączne Najpierw powiedz, gdzie jest tam ten plus, a potem rozpisz w sposób, jaki ja to zrobiłem, tylko odpowiednim działaniem

rafal: Aha, pewnie chodzi Ci o działanie r₁♦r₂=−3r₁r₂ Wtedy L=r₁♦(−3r₂r₃)=−3r₁(−3r₂r₃)=9r₁r₂r₃ P=(−3r₁r₂)♦r₃=−3(−3r₁r₂)r₃=9r₁r₂r₃ Czyli działanie jest łączne. Teraz element neutralny to takie e, dla którego e♦r₁=r₁♦e=r₁ dla każdego r₁∊R\{0} Spróbuj się zastanowić, jakie e spełnia równanie e♦r₁=−3er₁=r₁

amator: w tym działaniu nie ma żadnego plusa, nie wiem czemu potem w treści jest napisane, że plus oznacza dodawanie jak nic takiego nie ma. Już patrzę co napisałeś.

amator: nie rozumiem czemu z lewej strony pod r₂ podstawiłeś (−3r₂r₃) ?

rafal: Sprawdzam łączność, czyli L=r₁♦(r₂♦r₃)=...

amator: to z lewej strony w zadaniu jest r₁ * r₂ to skąd jeszcze ta −3 jak ona z prawej strony w zadaniu jest ?

amator: nie rozumiem czemu za r₂*r₃ wstawiłeś −3r₂r₃

rafal: ponieważ działanie r₂♦r₃ określiłeś wzorem r₂♦r₃=−3r₂r₃.... nieważne jakie są tam literki. Może byc a♦b=−3ab albo królik♦zająć=−3królikzająć. My mamy policzyć r₁♦(r₂♦r₃) czyli najpierw liczymy to co jest w nawiasie czyli otrzymujemy r₁♦(−3r₂r₃). A teraz znowu podstawiamy z definicji naszego działania i otrzymujemy −3r₁(−3r₂r₃). Jeśli tego nie widzisz, to niech Ci to ktoś kolorkami zrobi. Ja idę na lekcje, wracam wieczorem

rafal: I napisałem wyżej, że żeby Ci się nie myliły działania * z mnożeniem, to zastąpiłem gwiazdkę znakiem działania ♦ A przy mnożeniu nie piszę kropek tylko po prostu r₁r₂ co oznacza r₁ razy r₂ czyli normalne mnożenie liczb rzeczywistych

amator: aha dzięki patrze dalej

amator: e♦r1=−3er1=r1 e = 1 ? bo zawsze element neutralny w mnożeniu równa się 1, tylko nie wiem jak temu dowodzić.

amator: e♦r₁=−3er₁=r₁

amator: A jeśli chcę sprawdzić czy działanie jest przemienne to będzie: r₁ ♦ r₂ = r₂ ♦ r₁ r₁ ♦ r₂ = −3r₁r₂ r₂ ♦ r₁ = −3r₂r₁ −3r₁r₂ = −3r₂r₁ ?

rafal: Przemienność sprawdziłeś i jest ok. Wynika to od razu z przemienności mnożenia liczb rzeczywistych. Ale element neutralny.. powiedziałeś, że element neutralny MNOŻENIA to 1. Ale Ty masz działanie zdefiniowane inaczej. Twoje działanie to nie jest zwykłe mnożenie czyli r₁♦r₂=r₁r₂. Twoje działanie zdefiniowałeś tak r₁♦r₂=−3r₁r₂. A element neutralny tych obydwu działań jest inny. Wyszedłeś z równości −3er₁=r₁ a stąd −3e=1 teraz widzisz? Stąd obliczysz e, a później element symetryczny

rafal: Żeby już skrócić Twe męki, e=−¹₃. Teraz pomęcz się z elementem odwrotnym (symetrycznym − nie wiem jak go nazywacie)

rafal:

	1		1		1		1
bo (−		)♦r1=−3(−		)r1=r1=−3r1(−		)=r1♦(−		)
	3		3		3		3