różniczkowalność funkcji Kamcio :): Mam takie pytanie. Mam za zadanie sprawdzić czy funkcja f(x) jest różniczkowalna w jakimś punkcie x₀. Jakie są ogólne zasady postępowania w takim zadaniu? Co mam badać? Jakieś przydatne twierdzenia ?

PW: Definicja. Liczyć granicę ilorazu różnicowego

	f(xo+h) − f(xo)
	h

dla h→0. Istnieje granica skończona − f ma w x₀ pochodną. Nie istnieje − nie ma pochodnej. Oczywiście w x₀ funkcja musi być ciągła (jeżeli nie jest ciągła, to nie ma pochodnej − warunek konieczny istnienia pochodnej).

Kamcio :): Aha czyli sprawdzam czy funkcja jest ciągła w punkcie x₀ , a potem liczę pochodną lewostronną i prawostronną

Gray: Nie musisz badać ciągłości, aby zbadać różniczkowalność. W wielu ciekawych przykładach to najzwyklejsza strata czasu.

Kamcio :): To jak inaczej?

PW: Gray ma rację − nie musisz badać ciągłości. Pisałem o tym dlatego, że w niektórych zadaniach ta nieciągłość jest widoczna "gołym okiem" (w zadaniach, gdzie funkcja jest zdefiniowana "z klamerką" − np. na trzech różnych przedziałach trzema różnymi wzorami − tam czasami wykres "nie skleja się" na styku tych przedziałów). Wtedy nie liczymy nic − wiadomo, że pochodnej w takim punkcie nie ma. "Tak w ogóle" jedynym sposobem na pokazanie istnienia pochodnej w punkcie na podstawie definicji jest definicja. Granica ilorazu różnicowego.

Kamcio :): Okej, to jeszcze tutaj dorzucę drugie pytanie. Mam zbadać monotoniczność funkcji, Dziedzina wychodzi D=[−2√2 ; 2√2] pierwsza pochodna jest ujemna dla x∊(−∞,−1)∪(1,∞) (oczywiście x∊D) teraz jak podaję że funkcja jest malejąca, to podaję przedziały [−2√2,−1) , (1, 2√2] czy (−2√2,−1) , (1, 2√2) ?

PW: Jest malejąca na każdym z tych przedziałów z osobna, na sumie nie. Czy przedziały mają być domknięte, czy otwarte − niektórzy dyskutują. Jest prawdą, że twierdzenie "Jeżeli funkcja ma ujemną pochodną, to jest malejąca" (tu sformułowane niedbale) ma w założeniu istnienie pochodnej na przedziale otwartym. Jeżeli więc chcesz udzielić odpowiedzi z przedziałami jednostronnie domkniętymi, to możesz, ale pod warunkiem, że powołasz się jeszcze na coś, nie tylko na wspomniane twierdzenie.

Gray: Jeżeli wiemy, że funkcja ma dodatnią pochodną na przedziale otwartym (a,b) to jest rosnąca na tym przedziale − to jest jasne. Jeżeli dodatkowo będziemy wiedzieć, że funkcja ta jest ciągła w punktach a i b, to stąd wynika już, że jest rosnąca na przedziale domkniętym [a,b]. Bez ciągłości w a i b, monotoniczność na przedziale domkniętym może się popsuć.