Zespolone Radek: Pomoże ktoś ?

daras:

Radek: Korzystając z postaci trygonometrycznej rozwiązać równanie |z|⁶=iz⁶

Radek: ?

Gray: Niech z=r(cosa+isina), r≥0 − postać trygonometryczna z. Podstawiając do równania: Lewa = r⁶ =r⁶(cos0+isin0) Prawa= ir⁶(cos6a+isin6a) = r⁶(cos6a+isin6a)(cosπ/2+isinπ/2) = r⁶(cos(π/2 + 6a) + isin(π/2 + 6a)) Mamy więc r⁶(cos0+isin0)=r⁶(cos(π/2 + 6a) + isin(π/2 + 6a)), stąd r⁶ = r⁶ ⋀ 0 = π/2 + 6a + 2kπ ⇔

	−π		kπ
r≥0 ⋀ a =		+		, dla k=0,1,2,3,4,5 (aby otrzymać różne kąty)
	12		3

	−π		kπ
Odp: z=r(cosak+isinak), gdzie r∊[0,∞) oraz ak = =		+		, dla k=0,1,2,3,4,5
	12		3

Radek: Dziękuję

Radek: A nie da się jakoś inaczej tego zrobić ?

Radek: ?

Radek: ?

Mila: Pomyślę.

Mila: To nie jest takie trudne. To bardzo dobry sposób, może trochę objaśnię. L=|z|⁶ ⇔Lewa strona równania jest liczbą rzeczywistą/ |z|=r |z|⁶=r⁶ argument liczby rzeczywistej jest równy 0. L=r⁶*(cos0+i sin0) ================ Prawa strona: P=i*z⁶ teraz ze wzoru de Moivre'a φ− argument z z⁶=r⁶*(cos(6φ)+i sin( 6φ))

	π		π
Liczba i=|i|*(cos		+i sin		)
	2		2

	π		π
i*z=r6*((cos(6φ+		)+i sin( 6φ+		))=P
	2		2

( przy mnożeniu liczb zespolonych moduły mnożymy a argumenty dodajemy)⇔

	π		π
r6*(cos0+i sin0)=r6*((cos(6φ+		)+i sin( 6φ+		))⇔dla r>0
	2		2

	π		π
(cos0+i sin0)=((cos(6φ+		)+i sin( 6φ+		))⇔
	2		2

	π
(6φ+		=0+2kπ
	2

	π
(6φ=−		+2kπ
	2

	π		2kπ
φ=−		+
	12		6

I dalej jak napisał Gray, teraz rozjaśniło się.

Radek: dziękuję, zobaczymy jutro

Mila: Powodzenia.: Dobranoc.

Radek: Dobranoc.