Kongruencja Saizou : Mak ktoś jakieś zadanka z kongruencji w miarę przystępne

Mila: Gdzieś mam, znajdę, to podrzucę. Nie wiem, czy już ich nie masz.

Mila: Szkoda, że Vax nas porzucił, bo świetnie to opanował.

Saizou : Vax to olimpijczyk a pod olimpiadę to raczej podstawa

Mateusz: W miare przystępne mówisz. 1) Jak wiadomo można zdefiniować relacje kongruencji następująco: dwie liczby całkowite a i b są kongruentne modulo n jeśli (a mod n)=(b mod n) niektóre publikacje przyjmuja jednak definicje kongruencji jako spełnienie warunku: n | (a−b). Udowodnij że druga z tych definicji jest konsekwencją pierwszej. 2) Udowodnij ceche podzielnosci przez 9 używając kongruencji w liczbach całkowitych. Na razie tyle bo musze lecieć najwyzej wieczorem jeszcze coś podrzuce.

zombi: później ci wrzucę jakieś

jakubs: Jeżeli chcesz jakieś układy to zadanie nr. 3 : http://misztal.edu.pl/static/media/uploads/dyskretna/2014-2015/zad_5.pdf

AS: 1.Jaką resztę daje liczba a)14⁵ przy dzieleniu przez 6 b) 5¹²⁰ przy dzieleniu przez 13 2. Znaleźć ostatnią cyfrę liczby 17¹⁰⁰ 3.Wykazać,że liczba 3¹⁰ + 5¹⁰ jest podzielna prze 17 4.Znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby 15³⁰⁰ 5. Rozwiązać kongruencję 12*x ≡ 8(52)

Saizou : Usiądę do tego w środę, bo dzisiaj już mi się nie chce

Saizou : zadani 5 do ASa 12x≡8 mod52 3x≡2 mod13 −10x≡2 mod13 −5x≡1 mod13 8x≡−12 mod13 2x=−3 mod13 2x=10 mod13 x=5 mod13

Saizou : zad 1 do [P[AS]a 14⁵≡2⁵≡32≡2 mod6 5¹²⁰≡(25)⁶⁰≡(−1)⁶⁰≡1 mod13

Saizou : zad 2 od ASa 17¹⁰⁰≡7¹⁰⁰≡(−3)¹⁰⁰≡9⁵⁰≡(−1)⁵⁰≡1 (mod10) czyli ostatnia cyfra to 1 zad. 3 od ASa 3¹⁰+5¹⁰ 3⁵≡5 mod17 3¹⁰=8 mod17 5²=8 mod17 5¹⁰=9 mod17 3¹⁰+5¹⁰≡8+9≡17≡0 mod17

Saizou : niech a=x₀+10x₁+10²x₂+...+10ⁿx_n prawdziwa jest kongruencja 10^k≡1 mod9 zatem a=x₀+10x₁+10²x₂+...+10ⁿx_n≡x₀+x₁+...x_n mod9 zatem liczba a jest podzielna przez 9 wtedy kiedy suma cyfr liczby a jest podzielna przez 9

AS: Brawa dla Salzou − jesteś bomba matematyczna.

Saizou : wątpię w to

AS: A może tak L = ... 10000*e + 1000*d + 100*c + 10*d + a = 9999*e + 999*d + 99*c + 9*d + a = 9* (1111*e + ...) + (e + d + c + b + a) Ponieważ 9*(...) jest podzielne przez 9 wystarczy by suma cyfr ... e + d + c + b + a była podzielna przez 9 c.n.d.

zombi: 1. Wykaż, że 53⁵³−33³³ jest podzielna przez 10. 2. Wykaż, że jeśli n∊N, to liczba 2ⁿ⁺²+3²ⁿ⁺¹ ≡ 0 (mod 7) 3. Udowodnij, że gdy n∊N, to liczba 2⁴ⁿ+5 jest podzielna przez 21. 4. Wyznacz wszystkie takie liczby pierwsze p, że 4p²+1 i 6p²+1 są również pierwsze. (wsk. rozpatrzyć podzielność przez 5...) 5. Pokazać, że dla n∊N₊ liczby postaci 4 * 2²ⁿ + 1 są wszystkie złożone. 6. Wyznacz p pierwsze takie, że 2^p + 3^p jest podzielna przez 11. Ad. 3,5 w 3. potęga to 4ⁿ, natomiast w 5. potęga to 2ⁿ.

zombi: Powodzenia! jak rozwalisz wszystkie to, wrzucę jeszcze.

Saizou : i wszystkie olimpijskie

zombi: 1. VI OM 2. XI OM 3.XII OM 4. XVI OM tylko te 4

Saizou : tylko na 6 zadanek , jutro pomyślę, dzisiaj mam co innego na głowie

vvool: 1. Wykaż, że 53⁵³−33³³ przez 10. φ(5)=4 φ(2)=1 φ(10)=φ(5)*φ(2)=4 Z tw. Eulera: 53⁴=1(mod 10) 53⁵²=1(mod 10) 53⁵³=3(mod 10) 33⁴=1(mod 10) 33³²=1(mod 10) 33³³=3(mod 10) Odejmuje kongruencje stronami 53⁵³−33³³=0(mod 10) => 10|53⁵³−33³³ 2. Wykaż, że jeśli n∊N, to liczba 2ⁿ⁺²+3²ⁿ⁺¹ ≡ 0 (mod 7) 3²ⁿ⁺¹=2ⁿ*3(mod 7) 2ⁿ⁺²=2ⁿ⁺²(mod 7) Dodaje stronami 3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2ⁿ*3+2ⁿ⁺²(mod 7) 3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=7*2ⁿ=0(mod 7) => 7| 3²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²