Równanie kwadratowe z parametrem i bezwzględną XYZ: Dla jakich wartości parametru m równanie x² − (m+1)|x| + 1 =0 ma cztery różne rozwiązania? Nie wiem jak się do tego zabrać. Jak narysować wykres? Będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki.

PW: Funkcja f po lewej stronie równania jest parzysta, wystarczy narysować wykres dla x>0, część wykresu dla x<0 uzyskamy jako symetryczny obraz tej pierwszej (symetria o osi OY). Dla x=0 f(x) = 1.

XYZ: Ale jak narysować wykres kiedy przy x stoi −(m+1). Co z tym trzeba zrobić?

Lorak: Zauważ, że x² = |x|². Dalej podstaw pomocniczą zmienną t = |x| i pokombinuj z warunkami. Wykres nie pomoże w tym zadaniu. Poza tym, nie naszkicujesz go, bo jest parametr we wzorze

PW: No i doszłaś do sedna. Czy jeżeli rownanie x² − (m+1)x +1 = 0, x∊(0, +∞) nie ma rozwiązań albo ma tylko jedno, to istnieją cztery rozwiązania zadanego równania? Rysujemy przykładowe wykresy, żeby sobie uzmysłowić jakie warunki trzeba narzucić na m.

XYZ: Jeśli mamy mieć cztery rozwiązania to jakie powinny być warunki? Delta na pewno większa od 0 ale czy oprócz tego coś jeszcze?

PW: Po prawej stronie zera mają być dwa rozwiązania (wtedy po lewej będą drugie dwa). Inaczej mówiąc równanie dla x∊(0,∞) ma mieć dwa rozwiązania (czytaj: funkcja f(x) = x² − (m+1)x + 1 = 0 ma mieć dwa dodatnie miejsca zerowe). Umieść w rozwiązaniu taką ilustrację, to pomaga.

XYZ: Czyli ustalamy warunki tylko jakby do równania f(x) = x² − (m+1)x +1 =0, bo skoro funkcja główna jest parzysta (czyli sym.OY) to po przekształceniu będziemy mieć kolejne dwa miejsca zerowe? Dobrze to rozumiem ?

PW: Tak, ale ilustrację robić tylko dla x > 0, czyli nie rysować całej paraboli. Po zastosowaniu symetrii względem OY mamy piękną ilustrację całości. Warto również zauważyć, że f(0) = 1, a więc nie trzeba mówić o dwóch dodatnich miejscach zerowych − wystarczy by wierzchołek paraboli f(x) = x² − (m+1)x + 1 znalazł się po prawej stronie zera i miał drugą współrzędną ujemną.

XYZ: Mniej więcej to ogarniam ale przeanalizuję to jeszcze rano, bo o tej porze ciężko się już myśli. Wielkie dzięki za wyjaśnienie i poświęcony czas