Wartość logiczna zdania. A co to się stało?: Witam. Przychodzę tutaj z pewnymi wątpliwościami do poniższego przykładu: ∀z∊ℂ (z³=−1 ⇒ z=−1) Wątpliwości są stąd, że to w nawiasie ma sens, ale kwantyfikator na moje wszystko knoci, bo dana rzecz ma miejsce jedynie, gdy z =−1, a nie dla każdej, więc śmiem twierdzić, że zdanie fałszywe. Czy się mylę? Gdyby stał kwantyfikator ∃, to wtedy byłoby prawdziwe.

Janek191: z³ = − 1 to

	1		√3		1		√3
z =		+		i lub z = − 1 lub z =		−		i
	2		2		2		2

więc ta implikacja zachodzi nie dla każdego z ∊ ℂ Zdanie jest fałszywe

A co to się stało?: Czyli dobrze myślałem. Dziękuję.

PW: Niestey, rozumujesz źle. Nie kwantyfikator tu przeszkadza. Implikacja w nawiasie jest fałszywa, co wyjaśnił Janek191. Kto nie wierzy, niech napisze twierdzenie przeciwstawne (kontrapozycję): (1) z ≠ −1 ⇒ z³ ≠ − 1. Ma ono tę samą wartość logiczną co implikacja z³ = −1 ⇒ z = −1, a jest fałszywe − w zbiorze liczb zespolonych mamy 3 rozwiązania, są liczby różne od −1, których trzecia potęga jest równa −1 (implikacja (1) jest fałszywa). Formalnie zaprzeczenie badanego wyrażenia wygląda tak: ∃ ∼(z³ = −1 ⇒ z = −1) z∊ℂ i po zastosowaniu tautologii ∼(p⇒q) ⇔ p ∧ ∼q ∃ (z³ = −1 ∧ z ≠ −1) z∊ℂ − to właśnie pokazał Janek191, jest to prawda, a więc zaprzeczenie (czyli badane wyrażenie) jest fałszywe.