Czy W jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V nad R? V=R^3 W={(x,y,z) ∊ R^3: janko: Czy W jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V nad R? V=R³ W={(x,y,z) ∊ R³: x−4+3z=0} Wystarczy, że tutaj pod kontrprzykład dla dwóch wektorów np. (1,2,3) (2,3,4) Dodajemy oba i wychodzi −> (3,5,7) czyli 3−4+21 != 0 czyli nie jest przestrzeń Czy na odwrót − podajemy przykład, dla których to będzie 0 i wtedy jest przestrzeń? Mógłby ktoś wytłumaczyć?

PW: Pewnie w definicji powinno być x − 4y + 3z = 0, więc przykłady złe. Dowodu nie wykonuje się na przykładach, ale na dowolnych elementach podprzestrzeni (kandydatki na podprzestrzeń).

janko: Czyli wystarczy podać dwa takie wektory, dla których nie będzie 0?

PW: Ale co nie będzie 0? Dlaczego masz przekonanie, że to nie jest podprzestrzeń? Rozłóż przed sobą definicję przestrzeni wektorowej i sprawdzaj po kolei wszystkie warunki definicji, biorąc dwa (trzy) dowolne elementy spełniające zadane równanie. (x₁, y₁, z₁) oraz (x₂, y₂, z₂) − to są dowolne elementy badanego zbioru, pod warunkiem że spełniają równania: x₁ − 4y₁ +3z₁ = 0 x₂ − 4y₂ +3z₂ = 0. Suma tych dwóch elementów to (x, y, z) = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂) − jak myślisz − (z, y, z) spełnia zadane równanie?

PW: W ostatniej linijce powinno być oczywiście (x, y, z)

janko: czyli x1=4y1−3z1 i x2=4y2−3z2 dodajemy te wektory i wychodzi −> x1+x2=4(y1+y2)−3(z1+z2) i teraz mogę podać liczby, dla których to nie jest prawdziwe? Np. (1,2,3) i (2,3,4) czyli dowolne liczby 1+2=4(2+3)−3(3+4) 3=20−21 3=−1 To w ogóle tak się robi? Czy mam podać liczby, dla których to będzie spełnione?

PW: Nie rozumiesz, co znaczy w dowodzie dowolny element. Trzeba go zapisać symbolicznie − tak jak to zrobiłem o 16:39 i nic więcej. Dowodu nie można przeprowadzać na konkretach − będziesz to robił do śmierci? "Dowód" przeprowadzony dla dwóch konkretnych elementów jest tylko sprawdzeniem dla tych dwóch, a pozostałych miliard i jeszcze trochę? Dowód musi być przeprowadzony na symbolach (tak trzeba rozumieć określenie "na dowolnych elementach") A to co piszesz pod hasłem "dodajemy te wektory i wychodzi" oznacza, że po prostu nie rozumiesz co to jest wektor i jak się je dodaje (zresztą dodawanie już wykonałem, a Ty miałeś tylko sprawdzić, czy ten wektor − suma − spełnia zadane równanie. W takim stanie rzeczy nie mogę Ci pomóc.